Представления групп и теорема Маschке

Представления групп

Что такое представление

Представление группы G — гомоморфизм ρ: G → GL(V), то есть каждому элементу группы ставится в соответствие обратимый линейный оператор на V так, что ρ(gh) = ρ(g)ρ(h).

Размерность представления = dim V. Матричные коэффициенты: ρᵢⱼ(g) — числа.

Неприводимые представления

Подпространство U ⊆ V инвариантно, если ρ(g)U ⊆ U для всех g ∈ G. Представление неприводимо, если нет нетривиальных инвариантных подпространств.

Теорема Машке: Всякое конечномерное представление конечной группы над полем характеристики 0 (или не делящей |G|) полностью приводимо: разлагается в прямую сумму неприводимых.

Доказательство: усредняем проектор на инвариантное подпространство по группе (метод усреднения). Получаем G-инвариантный проектор.

Характеры

Характер χ_ρ(g) = tr(ρ(g)) — след оператора. Функция характера не меняется при сопряжении: χ(hgh⁻¹) = χ(g) — классовая функция.

Неприводимые представления определяются своими характерами: χ_ρ = χ_σ ⟺ ρ ≅ σ.

Отношение ортогональности: (χ_ρ, χ_σ) = (1/|G|) Σ_g χ_ρ(g)χ_σ(g⁻¹) = δ_ρσ.

Таблица характеров

Конечная группа G имеет ровно столько неприводимых представлений, сколько классов сопряжённых элементов. Таблица характеров кодирует всю структуру группы.

Для S₃ (симметрии треугольника): 3 класса → 3 неприводимых: тривиальное (степень 1), знаковое (степень 1), стандартное (степень 2).

Применения: в физике представления групп симметрий определяют допустимые состояния системы (теорема Вигнера, мультиплеты элементарных частиц).