Гомологическая алгебра: основы

Цепные комплексы

Цепной комплекс — последовательность абелевых групп (или модулей) и гомоморфизмов: ... → Cₙ₊₁ → Cₙ → Cₙ₋₁ → ... с условием dᵢdᵢ₊₁ = 0 (d² = 0).

Элементы ker dₙ — циклы Zₙ, Im dₙ₊₁ — границы Bₙ.

Гомология: Hₙ = Zₙ/Bₙ = ker dₙ / Im dₙ₊₁.

Гомология измеряет «насколько далёк комплекс от точного».

Гомологии в топологии

Сингулярные гомологии топологического пространства X: строим цепной комплекс из сингулярных симплексов (непрерывные образы стандартных симплексов) с граничным оператором.

H₀(X) ≅ ℤ^(число компонент связности). H₁(X) — «дырки» размерности 1 (циклы). H₂(X) — «полости» и т.д.

Сфера S²: H₀ = ℤ, H₁ = 0, H₂ = ℤ. Тор: H₀ = ℤ, H₁ = ℤ², H₂ = ℤ.

Теорема Кюннета

H*(X × Y) вычисляется через H*(X) и H*(Y) по формуле Кюннета: H_n(X×Y) ≅ ⊕{p+q=n} H_p(X) ⊗ H_q(Y) ⊕ ⊕{p+q=n-1} Tor(H_p(X), H_q(Y)).

Производные функторы

Точная последовательность 0→A→B→C→0 не всегда остаётся точной после применения функтора (например, Hom или ⊗).

Производные функторы (Ext и Tor) измеряют «степень нарушения точности»:

Torᵢ(A, B), Extⁱ(A, B) — алгебраические инварианты, связывающие алгебру с топологией.

Гомологическая алгебра — язык современной геометрии, теории чисел и теоретической физики.