Коммутативная алгебра и алгебраическая геометрия

Коммутативная алгебра

Кольцо R нётерово (по восхождению цепей идеалов), если любая возрастающая цепь идеалов I₁ ⊆ I₂ ⊆ ... стабилизируется.

Эммануэль Нётер в 1920-х установила, что это условие — правильное обобщение конечности для колец.

Примеры: поля, ℤ, K[x₁,...,xₙ] (теорема о базисе Гильберта).

Теорема Гильберта о базисе: Если R нётерово, то R[x] нётерово. Следовательно, K[x₁,...,xₙ] нётерово — всякий идеал конечно порождён.

Spec(R) = {простые идеалы R}. Это топологическое пространство (топология Зариского): замкнутые множества V(I) = {p: I ⊆ p}.

Spec(ℤ) = {(0)} ∪ {(p): p простое} — «геометрический» объект из теории чисел.

Spec(K[x]) = {(0)} ∪ {(x−a): a ∈ K} — точки прямой плюс «общая точка».

Если K — алгебраически замкнутое поле и I ⊆ K[x₁,...,xₙ] — идеал, то V(I) = ∅ ⟺ 1 ∈ I.

Более общо: радикал идеала I равен пересечению всех максимальных идеалов, содержащих I.

Это связывает алгебру (идеалы) с геометрией (алгебраические многообразия V(I)) — фундамент алгебраической геометрии.

Локализация R[S⁻¹] — кольцо «дробей» с знаменателями из мультипликативного множества S. Это позволяет «смотреть» на кольцо вблизи одного идеала.

Локализация ℤ по простому p: ℤ_(p) = {a/b: p∤b} — кольцо p-целых чисел.

В геометрии: локализация кольца функций вблизи точки.