Функционалы и уравнение Эйлера-Лагранжа

Что такое вариационное исчисление?

Обычный математический анализ ищет экстремум функции от числа или вектора: найти x, минимизирующий f(x). Вариационное исчисление решает задачу другого уровня: найти функцию y(x), минимизирующую некоторую «функцию от функции» — функционал. Именно такие задачи возникают в физике («по какой траектории движется частица?»), инженерии («какую форму должен иметь мост?») и экономике («какова оптимальная траектория накопления капитала?»).

История дисциплины начинается с 1696 года, когда Иоганн Бернулли предложил задачу брахистохроны: найти форму горки, по которой шарик скатывается между двумя точками за минимальное время. Задача поразила современников: ответ — не прямая (кратчайшее расстояние), а циклоида. Это открытие дало толчок развитию целой математической теории.

Что такое функционал?

Функционал — отображение из пространства функций в ℝ: J: {y : [a,b] → ℝ} → ℝ.

Самый важный тип функционала:

J[y] = ∫_{x₀}^{x₁} F(x, y(x), y'(x)) dx

Здесь F — заданная «лагранжева функция» трёх аргументов: F(x, y, p), где x — независимая переменная, y — значение функции, p = y' — производная. Функционал «суммирует» вклад F вдоль кривой.

Примеры функционалов:

1. Длина кривой: F(x, y, y') = √(1 + y'²). Функционал = ∫√(1 + y'²) dx — длина дуги.

2. Время скатывания по горке: шарик скатывается с высоты y(x). Скорость = √(2gy), элемент времени = ds/v = √(1+y'²)/√(2gy) dx. Функционал: J[y] = ∫√(1+y'²)/√(2gy) dx.

3. Потенциальная энергия упругой балки: F = (EI/2)(y'')² — квадрат кривизны, умноженный на жёсткость.

Первая вариация и идея вывода уравнения ЭЛ

Пусть y*(x) — предполагаемый экстремум. Рассмотрим «возмущение»: y_ε(x) = y*(x) + εη(x), где η — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая граничным условиям η(x₀) = η(x₁) = 0 (не сдвигаем концы), а ε — малый числовой параметр.

Первая вариация: δJ[y*; η] = d/dε|_{ε=0} J[y* + εη]

Для экстремума необходимо: δJ[y*; η] = 0 для всех допустимых η.

Вычисление:

d/dε J[y* + εη] = ∫(Fᵧ η + F_{y'} η') dx

при ε = 0 (здесь Fᵧ = ∂F/∂y, F_{y'} = ∂F/∂p).

Второй член интегрируем по частям: ∫F_{y'} η' dx = [F_{y'} η]{x₀}^{x₁} − ∫(d/dx F{y'}) η dx.

При нулевых граничных условиях η(x₀) = η(x₁) = 0 граничный член исчезает:

δJ = ∫(Fᵧ − d/dx F_{y'}) η dx = 0 для всех η.

Основная лемма: если непрерывная g такова, что ∫g(x)η(x)dx = 0 для всех гладких η с нулевыми концами, то g ≡ 0.

Следовательно:

Уравнение Эйлера-Лагранжа: Fᵧ − d/dx(F_{y'}) = 0

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (в развёрнутом виде): F_{yy'} y'' + F_{y'x} + F_{y'y} y' − Fᵧ = 0.

Полный разбор: задача о кратчайшем расстоянии

Задача: найти кратчайшую кривую в ℝ² между точками A = (0, 0) и B = (1, 1).

Функционал: J[y] = ∫₀¹ √(1 + y'²) dx. Лагранжиан: F(x, y, p) = √(1 + p²).

Уравнение ЭЛ:

• Fᵧ = ∂F/∂y = 0 (F не зависит от y явно!)
• F_{y'} = ∂F/∂p = p/√(1+p²) = y'/√(1+y'²)

Уравнение ЭЛ: 0 − d/dx(y'/√(1+y'²)) = 0 → d/dx(y'/√(1+y'²)) = 0.

Интегрируем: y'/√(1+y'²) = C (константа). Решаем: y'² = C²(1+y'²) → y'²(1−C²) = C² → y' = C/√(1−C²) = const.

Вывод: y' = константа → y = ax + b — прямая линия! С граничными условиями y(0) = 0, y(1) = 1: y = x.

Задача о брахистохроне

Задача: минимизировать время J[y] = ∫₀ᵃ √(1+y'²)/√(2gy) dx.

Лагранжиан: F = √(1+y'²)/√(2gy). Не зависит явно от x → первый интеграл: F − y' F_{y'} = C (интеграл Бельтрами).

F − y'·(y'/√(1+y'²))/√(2gy) = 1/(√(2gy)√(1+y'²)) = C.

Это уравнение параметрически решается: x = R(t − sin t), y = R(1 − cos t) — циклоида! Шарик скатывается не по прямой и не по дуге окружности, а по циклоиде — кривой, которую описывает точка на ободе катящегося колеса.

Расширения уравнения ЭЛ

Несколько функций y₁(x),...,yₙ(x): J = ∫F(x, y₁,...,yₙ, y₁',...,yₙ') dx. Система из n уравнений ЭЛ: Fᵧᵢ − d/dx F_{yᵢ'} = 0.

Высшие производные: J = ∫F(x, y, y', y'') dx. ЭЛ: Fᵧ − d/dx F_{y'} + d²/dx² F_{y''} = 0. Уравнение 4-го порядка. Пример: балка, J = ∫(EI y'')² dx → EI y'''' = 0.

Применения

В механике вариационный принцип формулирует уравнения движения через минимум действия. В оптике — принцип Ферма (свет идёт по кратчайшему пути во времени). В экономике — оптимальная траектория потребления (модель Рамсея). В машинном обучении — регуляризация можно понять как минимизацию функционала с ограничениями гладкости.