Задача Больца и условие поперечности

Постановки с незакреплёнными концами

В простейшей постановке вариационного исчисления оба конца кривой фиксированы: y(x₀) = y₀, y(x₁) = y₁. Но во многих реальных задачах это не так. Например, нужно найти кратчайший путь от точки A до некоторой кривой C (конечная точка не фиксирована, а лишь должна лежать на C). Или функционал содержит слагаемые, зависящие от конечных точек. Задача Больца — наиболее общая постановка, включающая все такие случаи.

Три классические постановки

Задача Лагранжа: min J = ∫F dx при дифференциальных ограничениях G(x,y,y') = 0. Движение вдоль кривой с дополнительными связями.

Задача Майера: min J = g(x₀, y(x₀), x₁, y(x₁)) — минимизируем только граничную функцию, без интеграла. Это задача с нефиксированными концами.

Задача Больца (общая форма): min J = ∫F dx + g(x₀, y₀, x₁, y₁) при дополнительных ограничениях. Объединяет Лагранжа и Майера.

Все три постановки эквивалентны (друг к другу сводятся), но каждая удобна для определённого типа задач.

Условие поперечности

Когда конечная точка незафиксирована и должна лежать на кривой C: φ(x₁, y₁) = 0, граничные условия изменяются.

Вывод: при вариации δJ = 0 с незакреплённой правой точкой возникает «остаток» от интегрирования по частям:

[F − y' F_{y'}] δx₁ + F_{y'} δy₁ = 0

Так как конечная точка движется вдоль C: φ_x δx₁ + φ_y δy₁ = 0. Из двух условий:

Условие поперечности: F_{y'} · φ_x = (F − y' F_{y'}) · φ_y

Геометрический смысл для задачи о геодезической: если ищем кратчайшее расстояние от точки A до кривой C, условие поперечности означает, что экстремаль перпендикулярна C в конечной точке. Это интуитивно очевидно: кратчайший путь от точки до кривой — перпендикуляр к этой кривой.

Многомерные задачи: функционалы от u(x,y)

Для функционала от двух переменных:

J[u] = ∫∫_Ω F(x, y, u, u_x, u_y) dx dy

Уравнение ЭЛ: F_u − ∂/∂x F_{u_x} − ∂/∂y F_{u_y} = 0

Это уравнение в частных производных (УЧП)!

Пример: мыльная плёнка (задача Плато). Нужно найти поверхность u(x,y) минимальной площади, натянутую на замкнутую проволочную рамку.

F = √(1 + u_x² + u_y²) — элемент площади. Уравнение ЭЛ:

∂/∂x (u_x/√(1+u_x²+u_y²)) + ∂/∂y (u_y/√(1+u_x²+u_y²)) = 0

Это условие нулевой средней кривизны: H = (κ₁ + κ₂)/2 = 0 — минимальная поверхность. Физически: в каждой точке мыльной плёнки сумма двух главных кривизн равна нулю, что соответствует равенству давлений с двух сторон.

Полный разбор: кратчайшее расстояние от точки до параболы

Задача: найти кратчайшую кривую от точки A = (0, 2) до параболы C: y = x²/2.

Функционал длины: J[y] = ∫₀^{x₁} √(1+y'²) dx.

Уравнение ЭЛ: экстремали — прямые y = ax + b.

Из начального условия y(0) = 2: b = 2. Экстремаль: y = ax + 2.

Условие поперечности: конечная точка на C: y₁ = x₁²/2. Кривая C задаётся φ(x,y) = y − x²/2 = 0, φ_x = −x, φ_y = 1.

Для прямой: F_{y'} = y'/√(1+y'²) = a/√(1+a²). F − y'F_{y'} = 1/√(1+a²).

Условие поперечности: a/(1+a²)^{1/2} · (−x₁) = (1+a²)^{−1/2} · 1 → −ax₁ = 1 → x₁ = −1/a.

Также y₁ = ax₁ + 2 = −1 + 2 = 1, и y₁ = x₁²/2 = 1/(2a²). Из y₁ = 1: 1 = 1/(2a²) → a² = 1/2 → a = ±1/√2.

Берём a = −1/√2 (путь вниз): x₁ = √2, прямая y = −x/√2 + 2. Длина: √(1 + 1/2)·√2 = √3. Это кратчайшее расстояние, и прямая перпендикулярна параболе в точке (√2, 1).

Применения задачи Больца

Задача Больца охватывает большинство практических постановок оптимального управления:

• Управление ракетой: время полёта T переменно, конечное положение — точка цели (Майер). Топливо минимизируется (Лагранж).
• Экономический рост: задача Рамсея — потребитель максимизирует ∫₀^∞ e^{-ρt} u(c(t)) dt при динамике капитала k̇ = f(k) − c. Бесконечный горизонт, терминальное условие на лимит k(t).
• Робототехника: траектория манипулятора — минимизация энергии плюс штраф за конечную ориентацию.

Численные методы

Для задач Больца с подвижными границами применяются:

• Прямые методы: дискретизация состояния и управления, переход к нелинейному программированию (NLP). Решатели IPOPT, SNOPT, Knitro.
• Метод стрельбы (shooting): интегрирование системы уравнений с подбором начальных условий через Ньютона.
• Псевдоспектральные методы (Радо, Чебышёва): представление траектории полиномом высокого порядка, точность экспоненциальная при гладких решениях. Используется в GPOPS-II, DIDO.

В аэрокосмической отрасли псевдоспектральные методы — стандарт для проектирования траекторий межпланетных миссий.