Канонический формализм и уравнение Гамильтона-Якоби

Связь оптики и механики

В 1820-х годах Уильям Гамильтон заметил поразительную аналогию: математика геометрической оптики (путь луча света) формально совпадает с математикой классической механики. Это привело его к созданию единого формализма — уравнения Гамильтона-Якоби. Позже, в 1926 году, Шрёдингер показал, что квантовая механика при ℏ→0 переходит в классическую именно через это уравнение: волновая функция — это «квантовый» аналог функции действия Якоби. Уравнение ГЯ — мост между классической и квантовой физикой, между вариационным исчислением и теорией УЧП.

Преобразование Лежандра и гамильтониан

Для функционала J[y] = ∫L(x, y, y') dx (L — лагранжиан):

Обобщённый импульс: p = ∂L/∂y' — переменная, сопряжённая к y'.

Гамильтониан: H(x, y, p) = p·y' − L(x, y, y'), где y' выражается через p из p = ∂L/∂y'.

Это преобразование Лежандра: переходим от переменной y' к p.

Канонические уравнения: ẏ = ∂H/∂p, ṗ = −∂H/∂y.

Пример: L = (1/2)y'² − U(y) (одномерная механика). p = y'. H = p·y' − (1/2)y'² + U = (1/2)p² + U. Канонические уравнения: ẏ = p, ṗ = −U'(y). Это уравнение Ньютона!

Функция действия Якоби

Рассмотрим семейство экстремалей, исходящих из фиксированной точки A = (x₀, y₀). Для каждой точки B = (x, y) определим функцию действия: S(x, y) = значение функционала J вдоль экстремали от A до B.

Теорема Якоби: вдоль экстремали p = ∂S/∂y (импульс = частная производная действия по конфигурации).

Второе соотношение: ∂S/∂x = −H(x, y, ∂S/∂y).

Уравнение Гамильтона-Якоби

Подставляя ∂S/∂y вместо p в выражение для H:

∂S/∂x + H(x, y, ∂S/∂y) = 0

Это нелинейное УЧП первого порядка — уравнение Гамильтона-Якоби (ГЯ).

Геометрический смысл: поверхности уровня S(x,y) = C называются «волновыми фронтами». Экстремали («траектории», «лучи») перпендикулярны волновым фронтам — они направлены вдоль ∇S.

Аналогия механики и геометрической оптики

Принцип Ферма: свет идёт по пути, минимизирующему время. Функционал: J = ∫n(x,y)ds, где n — показатель преломления, ds — элемент длины.

Уравнение эйконала: |∇S|² = n²(x,y). Это частный случай ГЯ для оптики.

Аналогия:

Волновые фронты = поверхности равной фазы
Лучи = экстремали (градиенты фазы)
Показатель преломления n = «замедление» (аналог потенциала)

Квантовая механика: волновая функция ψ = exp(iS/ℏ). Уравнение Шрёдингера при ℏ→0: [(∂S/∂t) + H(x, ∇S)] ψ → 0. Это и есть ГЯ! Квантовые интерференционные эффекты — следствие конечности ℏ.

Метод характеристик

Уравнение ГЯ F(x, y, ∂S/∂x, ∂S/∂y) = 0 — нелинейное УЧП. Решается методом характеристик.

Система характеристик (5 ОДУ по параметру s):

dx/ds = ∂F/∂p, dy/ds = ∂F/∂q, dp/ds = −∂F/∂x − p∂F/∂S, dq/ds = −∂F/∂y − q∂F/∂S, dS/ds = p∂F/∂p + q∂F/∂q

где p = ∂S/∂x, q = ∂S/∂y. Характеристики — это именно экстремали!

Полный разбор: маятник через ГЯ

Задача: свободные колебания маятника. H = p²/(2ml²) + mgl(1 − cos θ).

Уравнение ГЯ: ∂S/∂t + (∂S/∂θ)²/(2ml²) + mgl(1 − cos θ) = 0.

Для полной энергии E: ∂S/∂t = −E (стационарная задача). Тогда ∂S/∂θ = p = ±√[2ml²(E − mgl(1 − cos θ))].

Функция действия: S = −Et + ∫p(θ,E) dθ.

Период колебаний: T = ∂S/∂E = 2∮ dθ/|p/ml²| = 2ml² ∮dθ/√[2ml²(E−mgl(1−cosθ))].

Это эллиптический интеграл! При малых колебаниях (E << mgl): T ≈ 2π√(l/g) — стандартная формула.

Динамическое программирование как дискретный ГЯ

В дискретном времени принцип оптимальности Беллмана: V(x,t) = min_u {f(x,u)·dt + V(x + g(x,u)·dt, t+dt)}.

Предел dt→0: ∂V/∂t + min_u {f(x,u) + ∇V·g(x,u)} = 0 — уравнение ГЯ-Беллмана (HJB).

Это нелинейное УЧП — уравнение оптимального управления. Связь: вариационное исчисление → принцип Понтрягина → ГЯ-Беллмана.

Метод характеристик

Уравнение Гамильтона-Якоби — нелинейное УЧП первого порядка. Решается методом характеристик: вдоль характеристик задача сводится к системе ОДУ — каноническим уравнениям Гамильтона. Решение существует локально, но в общем случае может развиваться сингулярности: пересечение характеристик порождает «фокальные точки» и каустики (огибающие линий). Это имеет ясный физический смысл: каустика — место, где концентрируется световая энергия (например, солнечный «зайчик» на дне бассейна).

Вязкостные решения

Из-за сингулярностей классическое решение HJ существует не всегда. Современная теория (Кранделл-Лионс, 1983) ввела понятие вязкостных решений — обобщённых решений, единственных при разумных условиях. Они получаются как предел при ε → 0 решений «вязкого» уравнения V_t + H(x, ∇V) = ε ΔV. Численные методы (схемы Годунова, ENO, WENO) аппроксимируют именно вязкостное решение и устойчивы к разрывам производной.

Современные приложения

HJ применяется в робототехнике (планирование пути с препятствиями через уровневые множества), в финансах (оценка опционов — уравнение Блэка-Шоулса есть HJ для функции стоимости), в обработке изображений (анизотропная диффузия для контурного обнаружения), в медицинской визуализации (томографическая реконструкция через front propagation).