Введение в дифференциальные уравнения

Язык изменения

Дифференциальные уравнения — это язык, на котором природа описывает изменение. Когда физик записывает второй закон Ньютона F = ma, он, по существу, пишет дифференциальное уравнение: ускорение a = x'' — это вторая производная положения x по времени. Уравнение теплопроводности, уравнения Максвелла, уравнение Шрёдингера квантовой механики, уравнение Блэка–Шоулза для ценообразования опционов — всё это дифференциальные уравнения. Изучение ДУ — это изучение того, как устроен изменяющийся мир.

История дифференциальных уравнений неотделима от истории физики. Ньютон создал математический анализ именно для того, чтобы решать задачи механики — и первые ДУ в истории науки были уравнениями движения планет. С тех пор область распространилась на биологию (рост популяций, распространение эпидемий), химию (кинетика реакций), экономику (оптимальное управление, модели роста), инженерию (управление системами, теория цепей).

Основные понятия

ОДУ (обыкновенное дифференциальное уравнение) связывает функцию одной переменной y(x) с её производными: F(x, y, y', y'', ..., y^(n)) = 0. Слово «обыкновенное» отличает их от уравнений в частных производных, где функция зависит от нескольких переменных.

Порядок ОДУ — наивысший порядок производной, входящей в уравнение. Уравнение y' = ky — первого порядка; y'' + ω²y = 0 (гармонический осциллятор) — второго порядка.

Нормальная форма ОДУ первого порядка: y' = f(x, y). Именно эта форма — отправная точка для большинства теоретических результатов и численных методов.

Задача Коши

Одно уравнение y' = f(x, y) имеет бесконечно много решений — семейство интегральных кривых, заполняющих область. Чтобы выделить конкретное решение, нужно начальное условие: y(x₀) = y₀.

Задача Коши: найти решение y' = f(x, y), удовлетворяющее y(x₀) = y₀.

Геометрически: в каждой точке (x, y) функция f(x, y) задаёт направление (наклон) касательной к интегральной кривой. Совокупность этих направлений образует поле направлений. Решение задачи Коши — кривая, которая «течёт» вдоль поля направлений и проходит через заданную точку (x₀, y₀). Построение поля направлений — первый инструмент качественного анализа ДУ без их явного решения.

Уравнения с разделяющимися переменными

Простейший класс ОДУ, допускающих явное решение: y' = f(x)g(y). Переменные «разделяются» на левую и правую части.

Метод: делим обе части на g(y) (предполагая g(y) ≠ 0) и интегрируем:

dy/g(y) = f(x) dx → ∫ dy/g(y) = ∫ f(x) dx + C.

Подробный пример: Решить y' = xy при начальном условии y(0) = 2.

Разделяем: dy/y = x dx. Интегрируем левую часть: ∫ dy/y = ln|y|. Правую: ∫ x dx = x²/2. Получаем ln|y| = x²/2 + C, откуда y = Ae^(x²/2), где A = e^C. Применяем начальное условие: y(0) = A·1 = 2, значит A = 2. Ответ: y = 2e^(x²/2).

Закон экспоненциального роста и убывания

Модель: N' = kN — наиважнейшее уравнение прикладной математики.

Это уравнение с разделяющимися переменными: dN/N = k dt → ln N = kt + C → N(t) = N₀e^(kt).

При k > 0: экспоненциальный рост. Применения: рост населения (модель Мальтуса), размножение бактерий в питательной среде, начисление процентов в банке. Если бактерий изначально 1000 и они удваиваются каждые 20 минут (k = ln2/20 мин⁻¹), через 2 часа их будет 1000 · 2⁶ = 64 000.

При k < 0: экспоненциальное убывание. Применения: радиоактивный распад, охлаждение тела (закон Ньютона), амортизация инвестиций. Период полураспада — время T, за которое количество вещества уменьшается вдвое: N₀/2 = N₀e^(kT) → T = -ln(2)/k = ln(2)/|k|.

Для углерода-14, используемого в радиоуглеродном датировании: T = 5730 лет. Если в образце осталось 30% от исходного количества, его возраст: 0.3 = e^(-t/8267) → t = 8267 · ln(1/0.3) ≈ 9950 лет.

Однородные уравнения

Уравнение y' = f(y/x) называется однородным. Замена v = y/x (то есть y = vx) сводит его к уравнению с разделяющимися переменными.

Из y = vx: y' = v + xv'. Подставляем: v + xv' = f(v) → xv' = f(v) − v → dv/(f(v) − v) = dx/x.

Пример: y' = (y² + xy)/x² = (y/x)² + (y/x). Замена v = y/x: v + xv' = v² + v, откуда xv' = v², то есть dv/v² = dx/x. Интегрируем: -1/v = ln x + C. Возвращаясь к y: -x/y = ln x + C, или y = -x/(ln x + C).

Линейные уравнения первого порядка

Уравнение y' + p(x)y = q(x) — линейное, потому что y и y' входят в первой степени. Метод решения — вариация постоянной (или метод интегрирующего множителя).

Шаг 1: Решаем однородное y' + p(x)y = 0: y₀ = Ce^(−∫p dx).

Шаг 2: Ищем решение в форме y = C(x)e^(−∫p dx). Подставляем в уравнение — C(x) находится интегрированием.

Итоговая формула: y = e^(−∫p dx)[∫q(x)e^(∫p dx) dx + C].

Пример: y' − y = eˣ. Здесь p = -1, q = eˣ. Интегрирующий множитель μ = e^(-x). Уравнение принимает вид: (ye^(-x))' = 1. Интегрируем: ye^(-x) = x + C. Ответ: y = (x + C)eˣ.

Линейные ОДУ первого порядка моделируют RL-цепи в электротехнике (ток как функция времени), задачи смешения (концентрация вещества в резервуаре), задачи об оттоке тепла в термодинамике.

Вопрос для размышления: Модель роста Мальтуса N' = kN предсказывает бесконечный рост. Почему реальные популяции не растут бесконечно? Какое уравнение лучше моделирует ограниченный рост?