Метод вариации постоянных и неопределённые коэффициенты

Зачем нужен метод вариации постоянных

Мы умеем находить общее решение однородного уравнения. Но реальные системы вынуждены реагировать на внешние воздействия — F(t) в уравнении маятника, ЭДС в уравнении электрической цепи, входной сигнал в системе управления. Это делает уравнение неоднородным: L[y] = f(x). Метод вариации постоянных (метод Лагранжа) — самый общий и элегантный способ найти частное решение при известном ФСС однородного уравнения.

Название «вариация постоянных» отражает идею: в общем решении однородного c₁y₁ + c₂y₂ + ... + cₙyₙ заменяем постоянные cᵢ на функции cᵢ(x) — «варьируем» их так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению.

Метод вариации постоянных: общая схема

Пусть {y₁, ..., yₙ} — ФСС однородного уравнения. Ищем частное решение:

y_ч = c₁(x) y₁ + c₂(x) y₂ + ... + cₙ(x) yₙ.

Вводим дополнительные условия (чтобы система определилась однозначно):

c₁' y₁ + ... + cₙ' yₙ = 0 c₁' y₁' + ... + cₙ' yₙ' = 0 ... c₁' y₁^{(n-2)} + ... + cₙ' yₙ^{(n-2)} = 0

и уравнение c₁' y₁^{(n-1)} + ... + cₙ' yₙ^{(n-1)} = f(x).

Это система n линейных уравнений на c₁', ..., cₙ'. Определитель матрицы системы — вронскиан W ≠ 0. По формулам Крамера: cᵢ'(x) = Wᵢ(x) / W(x), где Wᵢ — вронскиан с i-м столбцом, замёненным на (0, 0, ..., 0, f(x)).

Формулы для уравнения второго порядка

Для y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) с ФСС {y₁, y₂} и W = y₁y₂' − y₁'y₂:

c₁'(x) = −y₂(x)f(x) / W(x), c₂'(x) = y₁(x)f(x) / W(x).

y_ч(x) = y₁(x) ∫{x₀}^x (−y₂(t)f(t) / W(t)) dt + y₂(x) ∫{x₀}^x (y₁(t)f(t) / W(t)) dt.

Развёрнутый пример: Решить y'' − 2y' + y = eˣ/x.

Однородное: λ² − 2λ + 1 = 0 → λ = 1 (кратность 2). ФСС: {y₁, y₂} = {eˣ, xeˣ}.

Вронскиан: W = y₁y₂' − y₁'y₂ = eˣ(eˣ + xeˣ) − eˣ · xeˣ = e²ˣ + xe²ˣ − xe²ˣ = e²ˣ.

Находим c₁', c₂': c₁' = −xeˣ · (eˣ/x) / e²ˣ = −1. c₂' = eˣ · (eˣ/x) / e²ˣ = 1/x.

Интегрируем: c₁ = −x + A; c₂ = ln x + B.

Частное решение: y_ч = (−x)eˣ + (ln x)(xeˣ) = eˣ(−x + x ln x) = xeˣ(ln x − 1).

Общее решение: y = (C₁ + C₂ x)eˣ + xeˣ(ln x − 1).

Метод неопределённых коэффициентов

Для уравнений с постоянными коэффициентами и правой частью «специального» вида — проще угадать структуру частного решения.

Если f(x) = Pₘ(x)e^{αx} (произведение многочлена степени m и экспоненты):

y_ч = x^s · Qₘ(x) · e^{αx}, где Qₘ — неизвестный многочлен степени m, s = 0 если α не корень характеристического уравнения, s = k если α — корень кратности k.

Если f(x) = e^{αx}[A cos(βx) + B sin(βx)]:

y_ч = x^s · e^{αx} · [C cos(βx) + D sin(βx)], где s = 0 или s = кратность корня α + βi.

Развёрнутый пример: y'' − 2y' + y = xeˣ.

Корень λ = 1 — кратности 2. Правая часть: P₁(x)e^{1·x} = xeˣ. Здесь m = 1, α = 1, кратность s = 2.

y_ч = x² · (ax + b) · eˣ = (ax³ + bx²) eˣ.

Находим производные: y_ч' = (3ax² + 2bx)eˣ + (ax³ + bx²)eˣ = eˣ(ax³ + (3a+b)x² + 2bx). y_ч'' = eˣ(ax³ + (6a+b)x² + (6a+4b)x + 2b).

Подставляем в y'' − 2y' + y: все члены с ax³ и bx² выпадают (следствие кратного корня). Остаётся: eˣ · (6ax + 2b) = xeˣ. Отсюда: 6a = 1, 2b = 0. a = 1/6, b = 0.

Ответ: y_ч = (x³/6)eˣ. Общее: y = (C₁ + C₂x)eˣ + (x³/6)eˣ.

Резонанс в физике

Случай s ≥ 1 (α — корень характеристического уравнения) в физике называется резонансом. Если частота внешней силы совпадает с собственной частотой системы, амплитуда колебаний нарастает как t (линейно по времени). Для ẍ + ω₀²x = cos(ω₀t): y_ч = t·sin(ω₀t)/(2ω₀). Амплитуда → ∞. Это резонансное нарастание разрушило Такомский мост в 1940 году и часто учитывается в инженерных расчётах сейсмостойкости.

Функция Грина: принцип суперпозиции

Функция Грина G(x, t) — решение уравнения L[G] = δ(x − t) с нулевыми начальными условиями. Физически: ответ системы на мгновенный единичный импульс в момент t.

Из линейности: y_ч(x) = ∫_{x₀}^x G(x, t) f(t) dt.

Любое нагружение f(t) представляется суммой импульсов, и отклик — суммой откликов на каждый импульс. Это принцип суперпозиции в интегральной форме.

Вопрос для размышления: Почему резонанс возникает именно тогда, когда частота внешнего воздействия совпадает с собственной частотой системы? Как инженеры предотвращают разрушительный резонанс в мостах и зданиях?