Специальные типы линейных ОДУ

Уравнение Эйлера: переменные коэффициенты особого вида

Уравнение Эйлера: xⁿ y^(n) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + ... + a₁ x y' + a₀ y = f(x).

Особенность: коэффициенты при y^(k) пропорциональны xᵏ. Это не случайно — такие уравнения возникают при решении задач с естественной радиальной симметрией (полярные, цилиндрические, сферические координаты), а также при поиске степенных решений более общих уравнений.

Замена: t = ln x (при x > 0), то есть x = eᵗ. Обозначим D = d/dt.

Ключевые формулы: x dy/dx = Dy, x² d²y/dx² = D(D−1)y, x³ d³y/dx³ = D(D−1)(D−2)y, и вообще xᵏ y^(k) = D(D−1)···(D−k+1)y.

После замены уравнение превращается в линейное ОДУ с постоянными коэффициентами по переменной t — которое мы умеем решать!

Подробный пример: уравнение Эйлера второго порядка

Уравнение: x²y'' − 3xy' + 4y = 0.

Замена t = ln x: x y' = Dy, x²y'' = D(D-1)y. Уравнение: D(D−1)y − 3Dy + 4y = 0, то есть (D² − 4D + 4)y = 0.

Характеристическое: λ² − 4λ + 4 = 0 → (λ−2)² = 0 → λ = 2 (кратность 2).

Общее по t: y = (C₁ + C₂t) e^{2t}.

Возврат к x: t = ln x, e^{2t} = e^{2 ln x} = x². Ответ: y = (C₁ + C₂ ln x) x².

Проверка: Вычислим y' = 2C₁x + C₂(1 + 2 ln x)x и y'' = 2C₁ + C₂(3 + 4 ln x)... (оставляется читателю).

Степенные решения: метод Фробениуса

Для уравнения x²y'' + xP(x)y' + Q(x)y = 0, где P(x) и Q(x) аналитичны у нуля, ищем решение в виде степенного ряда y = xᵣ Σ aₙ xⁿ.

Показатель степени r определяется из индициального уравнения: r(r−1) + P(0)r + Q(0) = 0.

Метод Фробениуса позволяет строить решения уравнения Бесселя, Лежандра, гипергеометрического уравнения — всех классических уравнений математической физики.

Понижение порядка

Если одно решение y₁ однородного уравнения n-го порядка известно, порядок уравнения можно понизить на 1. Идея: замена y = y₁ · v(x).

Для уравнения второго порядка: y₁v'' + 2y₁'v' + y₁''v + p(y₁v' + y₁'v) + qy₁v = 0. Поскольку L[y₁] = y₁'' + py₁' + qy₁ = 0, члены с v выпадают. Остаётся: y₁v'' + (2y₁' + py₁)v' = 0.

Замена w = v' снижает порядок: y₁w' + (2y₁' + py₁)w = 0 — это линейное уравнение первого порядка по w!

Пример: Найти второе решение y'' − y'/x + y/x² = 0, если y₁ = x.

Замена y = xv: x v'' + 2v' − v'/x + v' − xv/x²·x + ... Упрощая: xv'' + (2 − 1)v' = xv'' + v' = 0. Замена w = v': xw' + w = 0 → (xw)' = 0 → w = C/x → v = C ln x. Второе решение: y₂ = x ln x.

Задача Штурма–Лиувилля

Краевая задача: (p(x)y')' + (λq(x) − r(x))y = 0 на [a, b] с краевыми условиями.

В отличие от задачи Коши (начальные условия в одной точке), краевые условия заданы в двух точках. Это кардинально меняет характер задачи: решение существует только для специальных значений параметра λ — собственных значений.

Теорема: При регулярных условиях существует счётная система собственных значений λ₁ < λ₂ < λ₃ < ... → +∞ с соответствующими собственными функциями y₁, y₂, y₃, ...

Ортогональность: ∫_a^b yₘ(x) yₙ(x) q(x) dx = 0 при m ≠ n.

Физическое значение: Собственные значения — это допустимые частоты колебаний системы (например, нормальные моды колебаний струны). Собственные функции — профили этих колебаний. Произвольное начальное отклонение раскладывается по собственным функциям (метод Фурье для ДУ в частных производных).

Пример — струна: y'' + λy = 0, y(0) = y(L) = 0. Собственные значения: λₙ = (nπ/L)², n = 1, 2, 3, ... Собственные функции: yₙ = sin(nπx/L). Это именно гармоники струны, открытые Пифагором!

Уравнение Бесселя в акустике и электромагнетизме

Уравнение Бесселя x²y'' + xy' + (x² − ν²)y = 0 возникает при разделении переменных в задачах с цилиндрической симметрией. Акустика: колебания воздуха в круглой трубе. Собственные частоты — нули функций Бесселя Jₙ(ka), где a — радиус трубы. Электромагнетизм: ТМ и ТЕ-моды в цилиндрическом волноводе. Теплопроводность: стационарное температурное поле в цилиндре описывается уравнением Бесселя после перехода к цилиндрическим координатам. Квантовая механика: волновые функции атома водорода в сферической симметрии — полиномы Лежандра (угловая часть) и функции Бесселя полуцелого порядка (радиальная часть). Таблицы нулей функций Бесселя J₀, J₁ — стандартный инструмент инженера-акустика и радиотехника.

Вопрос для размышления: Почему метод Фробениуса даёт решение в виде степенного ряда, а не замкнутой формулы? В каких физических задачах уравнения Бесселя и Лежандра возникают естественным образом?