Касательные векторы и дифференциальные формы

Касательные пространства и дифференциальные формы

Касательный вектор без объемлющего пространства

На поверхности в ℝ³ касательный вектор — буквально «стрелка, лежащая на поверхности». Но как определить касательный вектор к абстрактному многообразию M, не вложенному в ℝⁿ?

Элегантное решение: касательный вектор в точке p — это эквивалентный класс гладких кривых γ: (−ε, ε) → M с γ(0) = p (с одинаковой скоростью в локальных координатах). Или, эквивалентно, дифференциальный оператор v(f) = (f ∘ γ)'(0) — действие на функции (производная вдоль γ).

Второе определение работает всегда и показывает: «вектор» = «способ дифференцировать функции в точке».

Касательное пространство TₚM

TₚM — векторное пространство всех касательных векторов к M в точке p. Размерность dim(TₚM) = n.

В локальной карте φ = (x¹, ..., xⁿ): базис TₚM образуют частные производные ∂/∂xⁱ|_p, действующие как (∂/∂xⁱ)(f) = ∂(f ∘ φ⁻¹)/∂xⁱ.

Любой вектор v ∈ TₚM раскладывается: v = vⁱ ∂/∂xⁱ (суммирование по i = 1,...,n).

Дифференциал отображения F: M → N в точке p: TₚF: TₚM → T_{F(p)}N — линейное отображение. В координатах: матрица Якоби.

Векторные поля

Векторное поле X на M: гладкое сечение касательного расслоения TM → M. В каждой точке p — вектор X(p) ∈ TₚM, гладко зависящий от p.

В координатах: X = Xⁱ(x) ∂/∂xⁱ, где Xⁱ — гладкие функции.

Ток (flow) поля X: система ОДУ dy/dt = X(y), y(0) = p. Решение Φ_t(p) — однопараметрическая группа диффеоморфизмов.

Скобки Ли [X, Y]: коммутатор дифференциальных операторов, снова векторное поле: X, Y = X(Y(f)) − Y(X(f)). В координатах: [X, Y]ⁱ = Xʲ ∂Yⁱ/∂xʲ − Yʲ ∂Xⁱ/∂xʲ.

Геометрический смысл: [X, Y] = 0 ↔ токи X и Y «коммутируют» (не важно, в каком порядке двигаться вдоль X и Y).

Пример: На ℝ², X = ∂/∂x, Y = ∂/∂y: [X, Y] = 0 (параллельные перемещения коммутируют). X = ∂/∂x, Y = x ∂/∂y: [X, Y] = ∂/∂y (движение вдоль x, затем вдоль y, не равно обратному порядку).

Дифференциальные формы

1-форма ω на M: в каждой точке p — линейный функционал ωₚ: TₚM → ℝ, гладко зависящий от p.

В координатах: ω = ωᵢ(x) dxⁱ, где dxⁱ — дифференциалы координат (базис кокасательного пространства).

Применение: ω(X) = ωᵢ Xⁱ — функция на M.

Дифференциал функции: df = (∂f/∂xⁱ) dxⁱ — стандартный пример 1-формы.

k-форма: кососимметрический полилинейный функционал на TₚM × ... × TₚM (k раз). В координатах: ω = ωᵢ₁...ᵢₖ dxⁱ¹ ∧ ... ∧ dxⁱₖ (∧ — внешнее произведение, кососимметричное).

Внешнее произведение: α ∧ β(X, Y) = α(X)β(Y) − α(Y)β(X) (для 1-форм). Кососимметрия: α ∧ β = −β ∧ α.

Внешний дифференциал d: k-форма → (k+1)-форма, d ∘ d = 0. В координатах: d(ωᵢ dxⁱ) = (∂ωᵢ/∂xʲ) dxʲ ∧ dxⁱ.

Когомологии де Рама

Замкнутая форма: dω = 0. Точная форма: ω = dη. Из d² = 0: точная → замкнута. Обратное — не всегда.

Лемма Пуанкаре: На стягиваемой области (ℝⁿ, шар) любая замкнутая форма точна. На пространствах с «дырами» это уже не гарантировано.

Пример: На ℝ² {0}: форма ω = (x dy − y dx)/(x² + y²) замкнута (dω = 0). Но ∮_{|r|=1} ω = 2π ≠ 0 → ω не точна (нет f : df = ω на всём ℝ² {0}).

Группы де Рама: H^k(M) = {замкнутые k-формы} / {точные k-формы}. Топологический инвариант: H^k(M) ≅ H^k_sing(M; ℝ) (теорема де Рама).

H¹(S¹) = ℝ (1-форма dθ не точна на S¹). H¹(ℝ²) = 0 (всё стягиваемо). H¹(T²) = ℝ² (два независимых цикла на торе).

Реальные применения

Электромагнетизм: F = dA (тензор Фарадея = внешний дифференциал 4-потенциала). dF = 0 (уравнения Максвелла без источников — замкнутость). Калибровочная инвариантность: A и A + dχ дают одно поле F.

Термодинамика: 1-форма δQ = T dS (тепло) не точна (нет функции Q: dQ = δQ). Но dS точна: вдоль цикла ∮ dS = 0. Второе начало термодинамики — замкнутость, а не точность δQ/T = dS.

Дифференциальные формы в термодинамике и теоретической физике

Дифференциальные формы — это язык, одновременно описывающий физику поля, термодинамику и механику без привязки к системе координат. Одноформа dU — дифференциал внутренней энергии — выражает первое начало термодинамики: dU = T dS − p dV, где T dS и p dV — термодинамические одноформы на пространстве состояний. Второй закон утверждает, что dS = δQ/T является точной формой (полным дифференциалом) только для обратимых процессов, а тепло δQ неравновесных процессов не является точной формой — это математически выражает необратимость. В электродинамике уравнения Максвелла принимают координатно-инвариантный вид: dF = 0 и d★F = J, где F = B + E∧dt — двуформа электромагнитного поля, ★ — оператор Ходжа. Такая запись немедленно обобщается на искривлённое пространство-время Общей теории относительности. В статистической механике мера Лиувилля (произведение симплектических форм dq¹∧dp₁∧...∧dqⁿ∧dpₙ) сохраняется вдоль гамильтонова потока — основа статистической физики и обоснование ансамбля. В современной геометрии дифференциальных уравнений с частными производными формы Картана используются для инвариантного описания классов симметрий уравнений и построения законов сохранения.

Теорема Фробениуса в современной геометрии обобщается на G-структуры: плоская связность (R = 0) на расслоении интегрируема в смысле существования параллельных рамок. Это используется в компьютерном зрении для калибровки камер через интегрируемость связности на SO(3)-расслоении ориентаций: условие R = 0 означает, что систему камер можно согласованно скалибровать глобально без накопления ошибок. В обработке тензорных МРТ-изображений мозга расслоения ориентаций нервных волокон (диффузионная МРТ) используют связность и кручение для трактографии нейронных путей.

Задание: (а) Вычислите [∂/∂x + y ∂/∂y, x ∂/∂y] на ℝ². (б) Форма ω = x dy − y dx на ℝ² {0}: вычислите dω. Замкнута ли ω? Точна ли она? (в) Что такое H²(S²)? Вычислите и интерпретируйте.