Риманова метрика и связность Леви-Чивита

Риманова геометрия: метрика, связность и кривизна

Риманова метрика: «правило измерения» на многообразии

Гладкое многообразие M само по себе не имеет понятий длины и угла — это «аморфная» топология. Риманова метрика g — дополнительная структура, задающая скалярное произведение в каждом касательном пространстве.

Формально: g — симметричный, положительно определённый (0,2)-тензор на M. В каждой точке p: gₚ: TₚM × TₚM → ℝ — скалярное произведение. В координатах: g = gᵢⱼ dxⁱ ⊗ dxʲ, симметрия gᵢⱼ = gⱼᵢ, g > 0.

Длина кривой γ: L(γ) = ∫ √(g(γ', γ')) dt = ∫ √(gᵢⱼ γ'ⁱ γ'ʲ) dt.

Расстояние: d(p, q) = inf_{γ: p→q} L(γ) — наименьшее расстояние вдоль кривых.

Первая фундаментальная форма поверхности — пример римановой метрики в двух измерениях.

Связность Леви-Чивита: «ковариантное дифференцирование»

На многообразии производная векторного поля Y вдоль направления X — ковариантная производная ∇_X Y. Это обобщение производной на изогнутые пространства.

Аксиомы связности ∇: C∞-линейность по X; ∂-правило по Y; Лейбниц для произведения функции и поля.

Связность Леви-Чивита — единственная, удовлетворяющая: (1) метрическая: X g(Y, Z) = g(∇_X Y, Z) + g(Y, ∇_X Z) (параллельный перенос сохраняет длины); (2) без кручения: ∇_X Y − ∇_Y X = [X, Y].

Символы Кристоффеля в координатах: Γᵢⱼₖ = (1/2) gⁱˡ (∂ⱼgₖˡ + ∂ₖgⱼˡ − ∂ˡgⱼₖ). Они полностью определяют ∇. Ковариантная производная: (∇_∂/∂xʲ Y)ⁱ = ∂Yⁱ/∂xʲ + Γⁱⱼₖ Yᵏ.

Геодезические — «прямые» на риманновом многообразии: ∇_{γ'}γ' = 0. В координатах: γ''ⁱ + Γⁱⱼₖ γ'ʲ γ'ᵏ = 0 — система ОДУ для γ(t).

Числовой пример (сфера S²): Γ¹₂₂ = −sin φ cos φ, Γ²₁₂ = Γ²₂₁ = cot φ. Уравнение геодезической → большой круг.

Параллельный перенос

Вектор v ∈ TₚM параллельно переносится вдоль кривой γ: ∇_{γ'}v = 0. На плоскости это просто «тащить вектор, сохраняя направление». На искривлённой поверхности результат переноса зависит от пути.

Голономия: перенос вектора вдоль замкнутой петли возвращает повёрнутый вектор. Угол поворота связан с интегралом кривизны (теорема Гаусса–Бонне). Это не просто теорема — это измеримый физический эффект.

Гироскоп Фуко (1851): Маятник Фуко — параллельный перенос вектора вдоль «параллели» на вращающейся Земле. За сутки вектор поворачивается на угол 2π sin(φ) (φ — широта). В Москве (φ ≈ 55°): угол ≈ 2π sin 55° ≈ 2π × 0.82 ≈ 295° за сутки.

Тензор кривизны Римана

Тензор Римана R(X, Y)Z измеряет некоммутативность параллельного переноса:

R(X, Y)Z = ∇_X ∇_Y Z − ∇_Y ∇X Z − ∇{[X,Y]} Z

В координатах: Rⁱⱼₖˡ = ∂ₖΓⁱⱼˡ − ∂ˡΓⁱⱼₖ + Γⁱₖₘ Γᵐⱼˡ − Γⁱˡₘ Γᵐⱼₖ.

На плоскости: Rⁱⱼₖˡ = 0 (параллельный перенос коммутирует). На сфере: R ≠ 0.

Секционная кривизна K(X, Y) = g(R(X,Y)Y, X)/(|X|²|Y|² − g(X,Y)²). Для двумерной поверхности: это и есть гауссова кривизна!

Тензор Риччи: Rᵢⱼ = Σₖ Rⁱₖⱼₖ (свёртка). Скалярная кривизна: R = gⁱⱼ Rᵢⱼ.

Уравнения Эйнштейна

В общей теории относительности метрика gᵢⱼ — динамическое поле. Уравнения Эйнштейна:

Gᵢⱼ ≡ Rᵢⱼ − (1/2) R gᵢⱼ = 8πG Tᵢⱼ

Левая часть (тензор Эйнштейна Gᵢⱼ) — геометрия (кривизна пространства-времени). Правая (Tᵢⱼ) — материя и энергия. Материя искривляет пространство-время; искривление управляет движением материи — замкнутый цикл.

Точные решения уравнений Эйнштейна

Несмотря на нелинейность системы, ряд точных решений известен. Решение Шварцшильда (1916): метрика вакуума вне сферически-симметричного тела: ds² = −(1−r_s/r)c²dt² + (1−r_s/r)⁻¹dr² + r²dΩ². Здесь r_s = 2GM/c² — радиус Шварцшильда. При r = r_s — горизонт событий чёрной дыры. Геодезические этой метрики точно предсказывают смещение перигелия Меркурия (+43ʼʼ за столетие) и отклонение света у Солнца (1.75ʼʼ), подтверждённые астрономическими наблюдениями в 1919 году во время солнечного затмения экспедицией Эддингтона.

Связность Леви-Чивита в современных приложениях

Ковариантное дифференцирование и параллельный перенос находят применение далеко за пределами чистой математики. В компьютерном зрении при обработке изображений на сферических или иных криволинейных поверхностях сферические свёрточные нейронные сети используют параллельный перенос для корректного обобщения операций свёртки на многообразия: переносить фильтр вдоль поверхности нужно ковариантно, чтобы результат не зависел от выбора локальных координат. В квантовых вычислениях голономическое квантовое вычисление основано на геометрической фазе: если параметры гамильтониана медленно обходят замкнутый контур в пространстве параметров, квантовое состояние получает унитарное преобразование (голономию), определяемое кривизной связности в пространстве состояний. Такие вентили устойчивы к локальным шумам, поскольку фаза зависит только от геометрии пути, а не от деталей динамики. В геодинамике тензор напряжений в земной коре описывается как раздел тензорного расслоения над двумерной поверхностью Земли, а дифференциальные уравнения тектоники плит используют ковариантные производные для учёта кривизны поверхности при моделировании распространения напряжений.

Теория гравитационных волн (детектированных LIGO в 2015 году) формулируется через возмущения метрики gᵢⱼ = ηᵢⱼ + hᵢⱼ в линеаризованной ОТО: волновое уравнение для hᵢⱼ выводится из уравнений Эйнштейна и описывает поперечные рябь в кривизне пространства-времени. Символы Кристоффеля и тензор Риччи в линейном приближении прямо определяют наблюдаемый эффект растяжения–сжатия интерферометра LIGO длиной 4 км на долю протона — прямое применение связности Леви-Чивита.

Задание: (а) Для метрики ℝ² в полярных координатах g = dr² + r²dθ²: найдите ненулевые символы Кристоффеля. (б) Запишите уравнение геодезической в полярных координатах. Покажите, что прямые (через начало) являются геодезическими. (в) Что означает R = 0 на 2-мерном многообразии? Назовите пример.