Шпаргалка

Математический анализ начинается с вопроса, который кажется тривиальным: что такое число? Мы привыкли работать с числами с детства, но строгое определение вещественного числа потребовало трёх столетий усилий лучших математиков — от Ньютона и Лейбница до Кантора и Дедекинда.

Вещественные числа образуют числовую прямую — непрерывный континуум, в котором между любыми двумя числами всегда найдётся третье. Это свойство, называемое плотностью, отличает вещественные числа от рациональных. Рациональных чисел тоже «бесконечно много», но они не заполняют числовую прямую полно...

Георг Кантор в 1870-х годах создал теорию множеств — язык, на котором написана вся современная математика. Множество — это любая совокупность определённых и хорошо различимых объектов. Кантор сделал поразительное открытие: существуют бесконечности разных «размеров».

Натуральных чисел {1, 2, 3, ...} бесконечно много — это счётная бесконечность. Удивительно, но рациональных чисел столько же, сколько натуральных: можно построить взаимно однозначное соответствие между ними (диагональный аргумент Кантора). А вот вещественных чисел больше — их несчётно много. Кант...

Понятие предела — сердце математического анализа. Интуитивно мы понимаем, что последовательность 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... «стремится к нулю» — её члены становятся сколь угодно малыми. Но что значит «сколь угодно»? Как сделать это утверждение математически строгим?

Ответ дал Огюстен Луи Коши в первой половине XIX века, а окончательную форму придал Карл Вейерштрасс: предел последовательности через ε-N.

Число a называется пределом последовательности {aₙ}, если для любого ε > 0 существует натуральное число N такое, что для всех n > N выполнено |aₙ - a| < ε.

Разберём это определение по словам. «Для любого ε > 0» — мы задаём произвольно малую погрешность. «Существует N» — начиная с некоторого номера. «Для всех n > N выполнено |aₙ - a| < ε» — все последующие члены лежат в ε-окрестности числа a.

Принцип полноты вещественных чисел — самая глубокая из аксиом, отличающая вещественные числа от рациональных. Он имеет несколько эквивалентных формулировок, каждая из которых открывает новый угол зрения.

Рассмотрим последовательность 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, ... — это десятичные приближения √2. Каждый следующий член точнее предыдущего. В рациональных числах этот предел не существует — √2 иррационально. Но мы «знаем», что где-то он должен быть, потому что числовая прямая непрерывна. Принцип по...

1. Аксиома супремума. Если непустое множество ограничено сверху, то у него существует точная верхняя грань (супремум).

2. Принцип вложенных отрезков (Кантора). Если [a₁, b₁] ⊇ [a₂, b₂] ⊇ ... — система вложенных отрезков, то их пересечение непусто. Если длины отрезков стремятся к нулю, пересечение состоит ровно из одной точки.

Предел последовательности — это предел «дискретной» функции, определённой на натуральных числах. Теперь перейдём к непрерывным функциям, заданным на интервалах вещественной прямой.

Что значит «f(x) стремится к L при x, стремящемся к a»? Интуиция подсказывает: когда x близко к a, значение f(x) близко к L. Но насколько близко? Определение через ε и δ даёт точный ответ.

Число L называется пределом функции f(x) при x→a, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x с 0 < |x - a| < δ выполнено |f(x) - L| < ε.

Заметим: x = a не входит в условие (0 < |x - a|). Предел описывает поведение функции вблизи точки, но не в самой точке. Это позволяет говорить о пределе даже там, где функция не определена.

Интуитивно непрерывная функция — та, которую можно нарисовать, не отрывая ручку от бумаги. Формальное определение переводит эту интуицию в строгий язык.

Функция f называется непрерывной в точке a, если: 1. f определена в точке a 2. Существует lim(x→a) f(x) 3. lim(x→a) f(x) = f(a)

Все три условия важны. Нарушение любого из них даёт разрыв. Функция f(x) = sin(x)/x при x ≠ 0 и f(0) = 1 непрерывна везде. А если положить f(0) = 0 — в нуле будет разрыв первого рода (устранимый).

Устранимый разрыв: предел существует, но не равен значению функции. Достаточно переопределить функцию в этой точке.

Теоремы о среднем значении связывают локальные свойства функции (значения производной в точке) с глобальными (изменение функции на интервале). Они — рабочие лошадки математического анализа, используемые в доказательствах сотен других результатов.

Если f непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и f(a) = f(b), то существует точка c ∈ (a, b) такая, что f'(c) = 0.

Геометрический смысл: если функция возвращается в исходную точку, в какой-то момент она «разворачивается» — производная обращается в ноль.

Доказательство: по теореме Вейерштрасса f достигает максимума и минимума на [a, b]. Если оба находятся на концах, f ≡ const и f' ≡ 0. Иначе хотя бы один внутренний экстремум — в нём производная равна нулю.

Определения

Формулы

В конце XVII века Ньютон и Лейбниц независимо создали дифференциальное исчисление. Ньютон называл производную «флюксией» и думал о ней физически — как о мгновенной скорости. Лейбниц разработал удобные обозначения dy/dx, которые мы используем до сих пор. Их подходы были эквивалентны, но многолетни...

Производная функции f в точке x₀ — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой в точке x₀.

Физический смысл: f'(x₀) — мгновенная скорость изменения f в точке x₀. Если f(t) — положение частицы, то f'(t) — её скорость.

Найти максимум или минимум — одна из самых практичных математических задач. Компания хочет максимизировать прибыль. Инженер — минимизировать потребление энергии. Физик — найти конфигурацию с минимальной энергией.

Теорема Ферма: Если f дифференцируема в точке x₀ и в ней достигается локальный экстремум, то f'(x₀) = 0.

Точки, где f' = 0 или f' не существует — критические точки. Экстремумы могут быть только в критических точках. Но не каждая критическая точка — экстремум: f(x) = x³, f'(0) = 0, но x = 0 — не экстремум (точка перегиба).

Признак первой производной: Если f' меняет знак с + на − при переходе через x₀, то x₀ — максимум. С − на + — минимум. Без смены знака — не экстремум.

Многочлены — самые простые функции: для их вычисления нужны только сложение и умножение. Идея Тейлора: приближать произвольную функцию многочленом, согласующимся с функцией в заданной точке как можно лучше.

«Согласование» означает: многочлен и функция совпадают в точке a по значению, по первой производной, по второй, ..., по n-й. Этот многочлен единственен и называется многочленом Тейлора.

Pₙ(x) = Σₖ₌₀ⁿ f^(k)(a)/k! · (x-a)^k = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)ⁿ/n!

Остаточный член в форме Лагранжа: Rₙ(x) = f^(n+1)(c)/(n+1)! · (x-a)^(n+1) для некоторого c между a и x.

Как найти площадь под кривой y = f(x) от a до b? Если f = const, ответ тривиален. Если f — многочлен, можно разбить на трапеции. Но что для произвольной функции?

Идея Римана (1854): разбить отрезок [a, b] на малые части, на каждой части приближённо заменить функцию константой, суммировать прямоугольники.

Разбиение T: a = x₀ < x₁ < ... < xₙ = b. Для каждого подотрезка [xᵢ₋₁, xᵢ] длиной Δxᵢ выбираем точку ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁, xᵢ].

Функция f интегрируема по Риману на [a, b], если существует предел сумм Римана при λ→0, не зависящий от выбора разбиения и точек ξᵢ. Этот предел — определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x)dx.

Теорема Ньютона–Лейбница — главный результат математического анализа. Она объединяет две на первый взгляд несвязанные задачи: нахождение площади (интеграл) и нахождение производной (дифференциал).

Формулировка: Если f непрерывна на [a, b] и F — любая первообразная f (то есть F' = f), то:

Это означает: чтобы вычислить площадь под кривой, достаточно найти первообразную и подставить концы.

Первая часть теоремы: Функция Φ(x) = ∫ₐˣ f(t) dt дифференцируема, и Φ'(x) = f(x).

Стандартный интеграл Римана требует: функция определена и ограничена на замкнутом конечном отрезке. Что если область интегрирования бесконечна или функция неограничена?

Тип II (неограниченная функция): ∫ₐᵇ f(x) dx (f → ∞ при x→a+) = lim(ε→0+) ∫ₐ₊ₑᵇ f(x) dx.

Если предел существует и конечен — интеграл сходится. Иначе — расходится.

Эталоны: ∫₁^∞ dx/xᵖ сходится при p > 1, расходится при p ≤ 1. ∫₀¹ dx/xᵖ сходится при p < 1, расходится при p ≥ 1.

Сумма 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... — может ли бесконечная сумма быть конечной? Интуиция говорит «нет», но математика показывает: да, если слагаемые убывают достаточно быстро.

Числовой ряд — это формальная запись Σₙ₌₁^∞ aₙ. Его частичная сумма Sₙ = a₁ + a₂ + ... + aₙ. Ряд сходится, если последовательность {Sₙ} имеет конечный предел S. Тогда S = Σₙ₌₁^∞ aₙ.

Необходимое условие сходимости: Если ряд сходится, то aₙ → 0. Обратное неверно: ряд Σ 1/n (гармонический ряд) расходится, хотя 1/n → 0.

Это фундаментальный ряд: через него выражаются ставки аннуитетов, задачи оценки бизнеса (ряд дисконтированных денежных потоков).

Пусть ряд Σfₙ(x) сходится в каждой точке x к функции S(x). Можно ли утверждать, что S непрерывна, если все fₙ непрерывны? Или что интеграл ряда — это ряд интегралов?

Ответ: нет, если сходимость только поточечная! Нужна более сильная форма — равномерная сходимость.

Ряд Σfₙ сходится равномерно к S на множестве E, если для любого ε > 0 существует N такое, что для всех n > N и всех x ∈ E: |S(x) - Sₙ(x)| < ε. Одно и то же N работает для всех x.

Критерий Коши: Ряд равномерно сходится ⟺ для любого ε > 0 существует N такое, что для m > n > N: |∑ₖ₌ₙ₊₁ᵐ fₖ(x)| < ε для всех x ∈ E.

Жан Батист Жозеф Фурье в 1807 году предложил революционную идею: любую «разумную» функцию можно разложить в ряд по тригонометрическим функциям. Это позволяло решать уравнение теплопроводности — задачу, с которой Фурье работал как инженер.

Тригонометрический ряд Фурье: f(x) = a₀/2 + Σₙ₌₁^∞ (aₙ cos(nx) + bₙ sin(nx)), где

Функции 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, ... ортогональны в пространстве L²[-π, π]:

Именно ортогональность позволяет вычислить коэффициенты: умножаем f(x) на cos(nx) и интегрируем — все остальные слагаемые исчезают.

Реальные задачи редко зависят от одной переменной. Температура зависит от координат x, y, z и времени t. Прибыль фирмы — от цен, объёмов, затрат. Потенциальная энергия системы частиц — от положений всех частиц. Анализ функций многих переменных — непосредственный шаг к пониманию реального мира, и ...

Частная производная f по xᵢ в точке a — это обычная производная по xᵢ при фиксированных остальных переменных:

Для f(x, y) = x²y + sin(y): ∂f/∂x = 2xy (дифференцируем по x, y — параметр), ∂f/∂y = x² + cos(y) (дифференцируем по y, x — параметр).

Экономическая интерпретация: Если f(K, L) — производственная функция (K — капитал, L — труд), то ∂f/∂K — предельный продукт капитала: насколько вырастет выпуск при увеличении капитала на единицу при фиксированных трудовых ресурсах. Функция Кобба–Дугласа f = AK^α L^β: ∂f/∂K = αAK^(α-1)L^β = αf/K. ...

Одномерный интеграл находит площадь под кривой. Кратные интегралы обобщают это на несколько измерений: двойной интеграл вычисляет объём под поверхностью, массу плоской пластины с переменной плотностью, вероятность попадания в область для двумерного распределения. Тройные интегралы — объёмы, центр...

Исторически кратные интегралы возникли у Лейбница и Ньютона при решении задач механики, но строгое обоснование появилось только у Коши и Римана в XIX веке. Ключевое препятствие — область интегрирования может быть произвольной фигурой, а не прямоугольником. Теорема Фубини, которую мы разберём ниже...

Пусть f(x,y) определена и ограничена на замкнутой области D ⊂ ℝ². Разбиваем D на малые кусочки с площадями ΔAₖ, выбираем в каждом точку (ξₖ, ηₖ) и формируем интегральную сумму Σ f(ξₖ, ηₖ) ΔAₖ. Если этот предел существует при измельчении разбиения и не зависит от способа разбиения и выбора точек, ...

Геометрический смысл: если f(x,y) ≥ 0, то двойной интеграл равен объёму под поверхностью z = f(x,y) над областью D. При f = 1 получаем площадь области: S(D) = ∬_D dA.

Большинство важных математических зависимостей задаётся неявно: уравнениями, системами уравнений, условиями равновесия. Уравнение состояния газа связывает давление, объём и температуру, но мы хотим знать, как меняется давление при изменении температуры при фиксированном объёме. Уравнение кривой F...

Теоремы о неявных и обратных отображениях отвечают на фундаментальный вопрос: когда нелинейная система «локально» ведёт себя как линейная? Ответ — когда соответствующее линейное приближение (матрица Якоби) обратимо. Это, по существу, принцип линеаризации, пронизывающий весь математический анализ.

Теорема (Коши, 1831): Пусть F: U ⊂ ℝ² → ℝ непрерывно дифференцируема, F(x₀, y₀) = 0 и ∂F/∂y(x₀, y₀) ≠ 0. Тогда существуют окрестности V ∋ x₀ и W ∋ y₀ такие, что для каждого x ∈ V уравнение F(x, y) = 0 имеет единственное решение y = φ(x) ∈ W. Функция φ непрерывно дифференцируема, и φ'(x) = -∂F/∂x(...

Условие ∂F/∂y ≠ 0 — ключевое. Геометрически это значит: поверхность уровня F = 0 «пересекает» вертикальное направление нетрансверсально. Аналогия: линейное уравнение ax + by = 0 разрешается по y тогда и только тогда, когда b ≠ 0.

Три задачи приводят к криволинейным интегралам. Первая: найти массу тонкого провода с переменной линейной плотностью ρ(x,y) — нельзя просто умножить длину на плотность, если плотность меняется. Вторая: найти работу, совершённую силовым полем F(x,y) = (P, Q) при перемещении частицы вдоль кривой — ...

Гладкая кривая C задаётся параметрически: r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], где x(t), y(t) непрерывно дифференцируемы и |r'(t)| = √(x'² + y'²) ≠ 0 (нет «остановок»). Элемент длины дуги: ds = |r'(t)| dt = √(x'²(t) + y'²(t)) dt.

Пример: полуокружность C: x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, π]. Длина: ∫₀^π |r'(t)| dt = ∫₀^π 1 dt = π. ✓

Это интеграл скалярной функции f по длине кривой. Не зависит от ориентации кривой (знак ds всегда положителен).

Плоская пластина с переменной плотностью требовала двойного интеграла. Поверхность в пространстве — трёхмерная кривая — требует поверхностного интеграла. Физические задачи, приводящие к ним: масса поверхности с переменной плотностью, тепловой поток через неравномерно нагретую оболочку, поток жидк...

Касательные векторы: rᵤ = ∂r/∂u = (∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u) и r_v = ∂r/∂v — лежат в касательной плоскости к поверхности.

Вектор нормали: N = rᵤ × r_v — перпендикулярен касательной плоскости. Его длина |N| = |rᵤ × r_v| — это «коэффициент растяжения» при параметризации. Элемент площади: dS = |rᵤ × r_v| du dv.

Смысл: интегрируем скалярную функцию f по площади поверхности. Не зависит от ориентации.

Определения

Теорема Ньютона–Лейбница, теорема Грина, теорема Стокса, теорема Гаусса–Остроградского — выглядят как четыре разные теоремы о четырёх разных видах интегралов. На самом деле это одна теорема в разных измерениях: интеграл внешней производной по многообразию равен интегралу исходной формы по его гра...

Дифференциальные формы появились в конце XIX века в работах Пуанкаре, Карлемана, Картана. Они объединяют анализ, топологию и геометрию и являются правильным языком для общей теории интегрирования на многообразиях — от классической механики до общей теории относительности.

0-форма на ℝⁿ — это просто гладкая функция f: ℝⁿ → ℝ. Её «интеграл» по точке — значение функции.

1-форма — выражение ω = P₁ dx₁ + P₂ dx₂ + ... + Pₙ dxₙ, где Pᵢ — гладкие функции, а dx₁,...,dxₙ — «базисные формы». Интеграл 1-формы по кривой — это криволинейный интеграл второго рода.

К концу XIX века математики столкнулись с ограничениями интеграла Римана. Первая проблема — функции с «плохими» разрывами. Функция Дирихле D(x) = 1 для рациональных x и D(x) = 0 для иррациональных не интегрируема по Риману: при любом разбиении [0,1] нижняя сумма Дарбу равна 0 (в каждом отрезке ес...

Вторая проблема — предельный переход. Если fₙ → f и каждая fₙ интегрируема, то интегрируема ли f? Верно ли lim ∫fₙ = ∫f? Для Римана ответ «не обязательно» — нужна равномерная сходимость. Но в теории вероятностей, функциональном анализе и теории дифференциальных уравнений нам нужны куда более общи...

Анри Лебег (1875–1941) в своей докторской диссертации 1902 года создал теорию, решающую обе проблемы. Его подход: измерять «размер» множеств, а не разбивать область на отрезки.

Начнём с простого: длина отрезка [a,b] = b − a. Длина конечного объединения непересекающихся отрезков = сумма длин (аддитивность). Можно ли распространить это «измерение» на произвольные множества?

Определения

После введения интеграла Лебега естественно спросить: какие функции «хорошо себя ведут»? Для чего нам вообще нужен класс функций, а не просто отдельные функции? Ответ — задачи анализа редко живут в «одной функции». Мы приближаем функции рядами, ищем решения уравнений в классе функций, изучаем схо...

Пространства Lᵖ — это правильные функциональные пространства для анализа, теории вероятностей, обработки сигналов и квантовой механики.

Lᵖ(X, μ) — пространство (классов) измеримых функций f: X → ℝ таких, что ∫_X |f(x)|ᵖ dμ(x) < ∞.

Технически, L^p состоит из классов эквивалентности: f ~ g если f = g почти всюду (μ-а.в.). Это делает ‖f − g‖_p = 0 эквивалентным f = g а.в., что нужно для невырожденности нормы.

Ряды Фурье разлагают периодическую функцию по частотам 1/T, 2/T, 3/T, ... Но что делать с непериодическим сигналом — например, конечным импульсом или функцией на всей вещественной оси? Шаг к непериодическому случаю: увеличим период T → ∞. Дискретный набор частот n/T становится непрерывным спектро...

Это один из самых универсальных инструментов математики — он одновременно работает в теории чисел, квантовой механике, теории дифференциальных уравнений, статистике, обработке сигналов и машинном обучении.

Для f ∈ L¹(ℝ) (абсолютно интегрируемой функции) преобразование Фурье определяется как:

(Используется соглашение с e^{-iωx}; в физике часто e^{-2πiξx}, в технике — e^{-jωt}.)