Предел функции: определение Коши и его следствия

От последовательностей к функциям

Предел последовательности — это предел «дискретной» функции, определённой на натуральных числах. Теперь перейдём к непрерывным функциям, заданным на интервалах вещественной прямой.

Что значит «f(x) стремится к L при x, стремящемся к a»? Интуиция подсказывает: когда x близко к a, значение f(x) близко к L. Но насколько близко? Определение через ε и δ даёт точный ответ.

Определение предела (ε-δ)

Число L называется пределом функции f(x) при x→a, если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x с 0 < |x - a| < δ выполнено |f(x) - L| < ε.

Запись: lim(x→a) f(x) = L.

Заметим: x = a не входит в условие (0 < |x - a|). Предел описывает поведение функции вблизи точки, но не в самой точке. Это позволяет говорить о пределе даже там, где функция не определена.

Пример: lim(x→2) (x² - 4)/(x - 2) = ?

При x ≠ 2: (x² - 4)/(x - 2) = (x-2)(x+2)/(x-2) = x + 2. Значит, предел = 4, хотя исходная дробь не определена при x = 2.

Односторонние пределы

Предел слева (x→a−): рассматриваем x < a. Предел справа (x→a+): рассматриваем x > a.

Функция |x|/x при x→0: слева lim = -1, справа lim = +1. Двусторонний предел не существует.

Двусторонний предел существует тогда и только тогда, когда оба односторонних предела равны.

Бесконечные пределы и пределы на бесконечности

lim(x→a) f(x) = +∞ означает: при приближении x к a, f(x) возрастает без ограничений.

lim(x→∞) f(x) = L: при x → +∞, f(x) → L. Это горизонтальная асимптота.

Примеры: lim(x→∞) (2x+3)/(x-1) = 2; lim(x→0) 1/x² = +∞.

Замечательные пределы

Первый: lim(x→0) sin(x)/x = 1.

Доказательство геометрическое: для x ∈ (0, π/2) верно sin x < x < tan x. Делим на sin x: 1 < x/sin x < 1/cos x. По теореме о сжатой переменной sin(x)/x → 1.

Второй: lim(x→0) (1+x)^(1/x) = e.

Это то же число e, которое мы встретили в пределе последовательностей.

Оба предела повсеместны: первый — в теории колебаний и оптике, второй — в финансовой математике и теории роста.

Эквивалентные бесконечно малые

Функции α(x) и β(x) эквивалентны при x→a (α ~ β), если lim α/β = 1.

При x→0: sin x ~ x, tan x ~ x, ln(1+x) ~ x, eˣ - 1 ~ x, (1+x)ⁿ - 1 ~ nx.

Эти эквивалентности — мощный инструмент упрощения. Вместо сложного выражения подставляем эквивалентное простое.

Теорема о пределе монотонной функции

Монотонная функция на интервале имеет пределы слева и справа в каждой точке. Точки разрыва монотонной функции — не более чем счётны (разрывы первого рода).

Связь с последовательностями (критерий Гейне)

lim(x→a) f(x) = L тогда и только тогда, когда для любой последовательности {xₙ}, сходящейся к a (xₙ ≠ a), последовательность {f(xₙ)} сходится к L.

Критерий Гейне переводит задачи о пределах функций к задачам о пределах последовательностей и наоборот. Это мощный инструмент: чтобы доказать, что предел не существует, достаточно найти две последовательности, дающие разные пределы.

Методы вычисления пределов

На практике пределы вычисляются с помощью нескольких ключевых приёмов. Алгебраические преобразования — умножение на сопряжённое, разложение на множители — устраняют неопределённости. Замена эквивалентными бесконечно малыми упрощает выражения: при x → 0 подставляем sin x ~ x, ln(1+x) ~ x, eˣ − 1 ~ x.

Пример: lim(x→0) (eˢⁱⁿˣ − 1)/x. При x → 0: sin x ~ x, поэтому eˢⁱⁿˣ − 1 ~ sin x ~ x. Предел равен 1.

Непрерывность означает, что предел можно «внести под знак функции»: если g непрерывна, то lim g(f(x)) = g(lim f(x)). Это колоссально упрощает вычисления: lim(x→0) cos(sin x) = cos(0) = 1.

Замена переменной: lim(x→∞) x sin(1/x) = lim(t→0) sin(t)/t = 1, где t = 1/x.

Пределы в экономике и финансах

Предел — инструмент анализа предельных величин. Предельные издержки MC = dC/dQ = lim(ΔQ→0) ΔC/ΔQ — производная функции затрат, это предел приращений. Коэффициент эластичности — отношение относительных изменений: E = lim(Δx→0) (Δy/y)/(Δx/x). Расчёт доходности портфеля при непрерывном реинвестировании опирается на предел (1 + r/n)ⁿ → eʳ.

Вопрос для размышления: Существует ли lim(x→0) x · sin(1/x)? Что можно сказать о lim(x→0) sin(1/x)?

Правило Лопиталя и вычисление неопределённых форм

Если lim f(x) = lim g(x) = 0 или оба стремятся к ∞, и lim f'(x)/g'(x) = L, то lim f(x)/g(x) = L — правило Лопиталя. Классические применения: lim(x→0) sin x/x = lim cos x/1 = 1; lim(x→∞) (ln x)/x = lim (1/x)/1 = 0; форма 0·∞ сводится к 0/0 или ∞/∞: lim(x→0⁺) x ln x = lim(x→0⁺) (ln x)/(1/x) = lim(x→0⁺) (1/x)/(−1/x²) = lim(x→0⁺)(−x) = 0. Предостережение: правило применяется только при настоящей неопределённости; ошибка — применить его к пределу, который уже определён. Форма 1^∞: lim(1 + 1/n)ⁿ = e — вычисляется логарифмированием и Лопиталем.