Теоремы о среднем и локальные свойства функций

Теоремы о среднем как мост

Теоремы о среднем значении связывают локальные свойства функции (значения производной в точке) с глобальными (изменение функции на интервале). Они — рабочие лошадки математического анализа, используемые в доказательствах сотен других результатов.

Теорема Ролля

Если f непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и f(a) = f(b), то существует точка c ∈ (a, b) такая, что f'(c) = 0.

Геометрический смысл: если функция возвращается в исходную точку, в какой-то момент она «разворачивается» — производная обращается в ноль.

Доказательство: по теореме Вейерштрасса f достигает максимума и минимума на [a, b]. Если оба находятся на концах, f ≡ const и f' ≡ 0. Иначе хотя бы один внутренний экстремум — в нём производная равна нулю.

Теорема Лагранжа (теорема о конечных приращениях)

Если f непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то существует c ∈ (a, b) такая, что f(b) - f(a) = f'(c) · (b - a).

Эквивалентно: (f(b) - f(a))/(b - a) = f'(c). Средняя скорость изменения равна мгновенной скорости в некоторый момент.

Физический смысл: если автомобиль за два часа проехал 100 км (средняя скорость 50 км/ч), то в какой-то момент его мгновенная скорость была ровно 50 км/ч.

Следствие 1: Если f'(x) = 0 на интервале, то f = const.

Следствие 2: Если f'(x) > 0 на интервале, то f возрастает. Если f'(x) < 0 — убывает.

Это основа исследования функций на монотонность.

Теорема Коши (обобщённая теорема о среднем)

Если f и g непрерывны на [a, b], дифференцируемы на (a, b), g'(x) ≠ 0 на (a, b), то существует c ∈ (a, b) такая, что (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a)) = f'(c)/g'(c).

Это обобщение теоремы Лагранжа (при g(x) = x получаем её). Теорема Коши — ключевой шаг в доказательстве правила Лопиталя.

Правило Лопиталя

Если lim(x→a) f(x) = lim(x→a) g(x) = 0 (или оба → ∞) и существует lim(x→a) f'(x)/g'(x) = L, то lim(x→a) f(x)/g(x) = L.

Правило позволяет раскрывать неопределённости 0/0 и ∞/∞ дифференцированием числителя и знаменателя.

Примеры:

• lim(x→0) sin(x)/x = lim(x→0) cos(x)/1 = 1 ✓
• lim(x→∞) ln(x)/x = lim(x→∞) (1/x)/1 = 0

Неопределённости 0·∞, ∞−∞, 1^∞, 0^0, ∞^0 сводятся к 0/0 или ∞/∞ алгебраическими преобразованиями.

Формула Тейлора

Теоремы о среднем — частный случай более общего результата. Формула Тейлора с остатком в форме Лагранжа:

f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)²/2! + ... + f^(n)(a)(x-a)ⁿ/n! + Rₙ(x),

где Rₙ(x) = f^(n+1)(c)(x-a)^(n+1)/(n+1)! для некоторого c между a и x.

Формула Тейлора — «полиномиальная аппроксимация»: мы приближаем сложную функцию многочленом, оценивая погрешность. Именно так работают калькуляторы и компьютеры при вычислении sin, cos, exp.

Пример: sin(x) ≈ x − x³/6 + x⁵/120 с погрешностью |R₅(x)| ≤ |x|⁷/5040.

Применение теорем о среднем

Теоремы о среднем — основа доказательств неравенств. Например: |sin(x) − sin(y)| ≤ |x − y| следует из теоремы Лагранжа, поскольку |sin'(c)| = |cos(c)| ≤ 1.

В численных методах теорема Лагранжа используется для оценки погрешности интерполяции, квадратурных формул и схем численного дифференцирования.

Правило Лопиталя в деталях

Правило Лопиталя применимо к неопределённостям 0/0 и ∞/∞, но требует осторожности. Главная ошибка — применение без проверки условий: оба предела должны быть 0 или оба ∞. Кроме того, правило применяется к отношению производных, а не к производной отношения.

Пример с итерацией: lim(x→0) (eˣ − 1 − x)/x². Числитель и знаменатель → 0. Один раз: lim (eˣ − 1)/(2x) — снова 0/0. Второй раз: lim eˣ/2 = 1/2.

Неопределённость 1^∞: lim(x→0) (cos x)^(1/x²). Запишем: L = lim exp[(1/x²)ln cos x]. По Лопиталю: lim ln(cos x)/x² = lim(−sin x/cos x)/(2x) = lim(−tan x)/(2x) = −1/2. Следовательно, L = e^(-1/2).

Монотонность и оценки через теоремы о среднем

Теорема Лагранжа даёт конкретные числовые оценки. Пример: доказать, что |sin a − sin b| ≤ |a − b| для всех a, b. По теореме Лагранжа: sin a − sin b = cos c · (a − b) для некоторого c. Так как |cos c| ≤ 1, получаем |sin a − sin b| ≤ |a − b| — неравенство Липшица для синуса.

Вопрос для размышления: Как использовать теорему Лагранжа, чтобы доказать неравенство ln(1 + x) ≤ x для всех x > −1?

Обобщённая теорема Коши о среднем значении

Теорема Коши: если f и g дифференцируемы на [a, b] и g'(c) ≠ 0, то существует c ∈ (a, b) такое, что (f(b) − f(a))/(g(b) − g(a)) = f'(c)/g'(c). При g(x) = x это теорема Лагранжа. Теорема Коши лежит в основе строгого доказательства правила Лопиталя. Оценки через производную: |f(b) − f(a)| ≤ max|f'| · |b − a| — «липшицева» оценка. В теории ОДУ: условие |f(x,y₁) − f(x,y₂)| ≤ L|y₁ − y₂| (Липшица) гарантирует единственность решения задачи Коши. В машинном обучении функции потерь с условием Липшица хорошо поддаются оптимизации градиентными методами с предсказуемой скоростью сходимости.