Производная: определение и геометрический смысл

История: споры Ньютона и Лейбница

В конце XVII века Ньютон и Лейбниц независимо создали дифференциальное исчисление. Ньютон называл производную «флюксией» и думал о ней физически — как о мгновенной скорости. Лейбниц разработал удобные обозначения dy/dx, которые мы используем до сих пор. Их подходы были эквивалентны, но многолетний спор о приоритете отравил математическое сообщество на десятилетия.

Строгое определение производной дал Коши в XIX веке.

Определение производной

Производная функции f в точке x₀ — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента:

f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx

Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой в точке x₀.

Физический смысл: f'(x₀) — мгновенная скорость изменения f в точке x₀. Если f(t) — положение частицы, то f'(t) — её скорость.

Геометрический смысл: f'(x₀) — угловой коэффициент касательной к графику f в точке (x₀, f(x₀)).

Связь дифференцируемости и непрерывности

Дифференцируемость → непрерывность. Обратное неверно.

Функция |x| непрерывна в нуле, но не дифференцируема: левая производная = -1, правая = 1. «Угол» на графике — точка недифференцируемости.

Функция Вейерштрасса — непрерывная, но нигде не дифференцируемая — показала, что «бесконечно угловатые» функции существуют. Это была сенсация XIX века.

Правила дифференцирования

(cf)' = cf', (f+g)' = f'+g', (fg)' = f'g + fg', (f/g)' = (f'g - fg')/g².

Производная сложной функции: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x).

Таблица основных производных:

• (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
• (eˣ)' = eˣ
• (ln x)' = 1/x
• (sin x)' = cos x
• (cos x)' = -sin x
• (arctan x)' = 1/(1+x²)

Производные высших порядков

f''(x) — производная от производной. Физически: ускорение. Геометрически: связана с выпуклостью.

f''(x₀) > 0 — функция выпукла вниз в точке x₀. f''(x₀) < 0 — выпукла вверх.

Дифференциал

Дифференциал df = f'(x₀) · dx — линейная часть приращения функции. Приращение: Δf = f'(x₀)Δx + o(Δx). Дифференциал — главная линейная часть приращения.

Дифференциал позволяет приближённо вычислять: √(4.01) ≈ √4 + (1/(2√4)) · 0.01 = 2 + 0.0025 = 2.0025.

Теорема об обратной функции

Если f дифференцируема в точке x₀ и f'(x₀) ≠ 0, то обратная функция f⁻¹ существует в окрестности y₀ = f(x₀) и дифференцируема:

(f⁻¹)'(y₀) = 1 / f'(x₀).

Геометрически: угловой коэффициент касательной к обратной функции — обратная величина углового коэффициента исходной. Если касательная к f не горизонтальна (f'(x₀) ≠ 0), обратная функция тоже дифференцируема.

Пример: (arcsin x)' при x = sin t: d(arcsin x)/dx = 1/(sin'(t)) = 1/cos(t) = 1/√(1 − x²). Это стандартная формула для производной арксинуса.

Логарифмическое дифференцирование

Если функция задана произведением многих множителей или содержит переменную в степени, удобно логарифмировать: вместо f(x) дифференцировать ln f(x).

Пример: f(x) = xˣ. ln f = x ln x. Дифференцируем: f'/f = ln x + 1, откуда f' = xˣ(ln x + 1).

Применение в физике и экономике

Скорость и ускорение — первая и вторая производные положения по времени. Предельный доход MR = dTR/dQ — производная общей выручки по объёму. Условие максимума прибыли MR = MC выводится из приравнивания производных. Эластичность спроса E = (dQ/dp) · (p/Q) — производная, нормированная на уровень: показывает, насколько процентов изменится спрос при изменении цены на 1%.

Численное дифференцирование

Когда функция задана таблично, производную приближают конечными разностями. Формула первого порядка: f'(x) ≈ (f(x+h) − f(x))/h. Формула второго порядка: f'(x) ≈ (f(x+h) − f(x−h))/(2h) — «центральная разность», более точная при том же шаге h. Погрешность оценивается через формулу Тейлора.

Производная как линейное отображение

В многомерном обобщении производная функции f: ℝⁿ → ℝᵐ — это не число, а линейное отображение (матрица Якоби), наилучшим образом аппроксимирующее f вблизи данной точки. Для функции f: ℝ → ℝ матрица Якоби — просто 1×1 матрица, то есть число f'(x). Этот взгляд объединяет дифференцирование функций одной и многих переменных в единую теорию.

Вопрос для размышления: Функция Вейерштрасса f(x) = Σaⁿcos(bⁿπx) (где 0 < a < 1, b нечётное целое, ab > 1 + 3π/2) непрерывна везде, но нигде не дифференцируема. Как это возможно интуитивно?

Производная обратной функции и логарифмическое дифференцирование

Если f монотонна и дифференцируема в точке x, то (f⁻¹)'(y) = 1/f'(x) при y = f(x). Пример: (arcsin)'(y) = 1/cos(arcsin y) = 1/√(1 − y²). Логарифмическое дифференцирование: для y = u(x)^v(x) берём ln y = v ln u, дифференцируем: y'/y = v' ln u + vu'/u. Следствие: (xˣ)' = xˣ(1 + ln x). Этот приём позволяет дифференцировать произведение многих функций (ln |∏ fᵢ| = Σ ln|fᵢ|) и функции с переменным основанием и показателем — стандарт в теоретической физике и в доказательствах неравенств.