Теорема Ньютона–Лейбница и техника интегрирования

Великая теорема

Теорема Ньютона–Лейбница — главный результат математического анализа. Она объединяет две на первый взгляд несвязанные задачи: нахождение площади (интеграл) и нахождение производной (дифференциал).

Формулировка: Если f непрерывна на [a, b] и F — любая первообразная f (то есть F' = f), то:

∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)

Это означает: чтобы вычислить площадь под кривой, достаточно найти первообразную и подставить концы.

Первая часть теоремы: Функция Φ(x) = ∫ₐˣ f(t) dt дифференцируема, и Φ'(x) = f(x).

Иными словами: дифференцирование и интегрирование — взаимообратные операции. Интеграл от производной = исходная функция (с точностью до константы).

Методы интегрирования

1. Таблица интегралов (используем обратные формулы дифференцирования):

• ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
• ∫eˣ dx = eˣ + C
• ∫sin x dx = -cos x + C
• ∫dx/x = ln|x| + C

2. Подстановка (замена переменной): ∫f(g(x))g'(x)dx = ∫f(u)du при u = g(x).

Пример: ∫sin(x²)·2x dx; полагаем u = x², du = 2x dx: = ∫sin(u)du = -cos(u) + C = -cos(x²) + C.

3. Интегрирование по частям: ∫u dv = uv - ∫v du.

Мнемоника: LIATE (Logarithms, Inverse trig, Algebraic, Trigonometric, Exponential) — выбираем u.

Пример: ∫x eˣ dx. u = x, dv = eˣ dx; du = dx, v = eˣ. = x eˣ - ∫eˣ dx = x eˣ - eˣ + C = (x-1)eˣ + C.

4. Разложение на простые дроби: для рациональных функций разбиваем на сумму простых дробей.

Приложения определённого интеграла

Площадь: S = ∫ₐᵇ |f(x) - g(x)| dx (площадь между двумя кривыми).

Объём тела вращения: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx (вращение вокруг оси Ox).

Длина дуги: L = ∫ₐᵇ √(1 + [f'(x)]²) dx.

Физические приложения: работа силы, момент инерции, центр масс.

Интеграл Ньютона–Лейбница вычисляет всё это единым методом — это и есть его сила.

Дополнительные приёмы интегрирования

Тригонометрические подстановки. Для интегралов вида ∫√(a²−x²)dx полагаем x = a sin t: √(a²−x²) = a cos t, dx = a cos t dt. Получаем ∫ a² cos²t dt = (a²/2)(t + sin t cos t) + C.

Рекуррентные формулы. Iₙ = ∫ sinⁿx dx выражается через Iₙ₋₂: Iₙ = −(sin^(n-1)x cos x)/n + (n-1)/n · Iₙ₋₂. Это позволяет свести любую степень синуса к I₀ = x или I₁ = −cos x.

Разложение на простые дроби. Для ∫ dx/((x+1)(x+2)) разлагаем: 1/((x+1)(x+2)) = 1/(x+1) − 1/(x+2). Интеграл: ln|x+1| − ln|x+2| + C = ln|(x+1)/(x+2)| + C. Это стандартный метод для рациональных функций.

Формула Ньютона–Лейбница и ОДУ

Первообразная и ОДУ тесно связаны. Задача y' = f(x), y(x₀) = y₀ имеет решение y(x) = y₀ + ∫_{x₀}^x f(t) dt — прямое применение теоремы. Это простейший случай «уравнения с разделяющимися переменными»: когда f зависит только от x, интегрирование даёт явный ответ.

Геометрические приложения

Площадь в полярных координатах: S = (1/2)∫ₐᵇ r(θ)² dθ. Длина кривой в параметрической форме: L = ∫ₐᵇ √(ẋ² + ẏ²) dt. Площадь поверхности вращения: S = 2π∫ₐᵇ |f(x)| √(1 + f'(x)²) dx.

Все эти формулы — конкретные применения теоремы Ньютона–Лейбница к геометрическим задачам.

Интегрирование по частям в теории вероятностей

Формула интегрирования по частям ∫u dv = uv − ∫v du имеет важное приложение в теории вероятностей. Математическое ожидание E[X] = ∫₀^∞ P(X > t) dt для неотрицательной случайной величины X — это интегрирование по частям применительно к формуле E[X] = ∫₀^∞ x f(x) dx с u = x, dv = f(x)dx. Эта связь между ожиданием и функцией распределения используется в страховой математике и теории надёжности для вычисления средней продолжительности жизни и среднего времени до отказа.

Вопрос для размышления: Функция f(x) = x sin(1/x) при x ≠ 0 и f(0) = 0 непрерывна. Но существует ли первообразная F такая, что F' = f? Всегда ли у непрерывной функции есть первообразная?

Теорема о среднем для определённого интеграла

Первая теорема о среднем: если f непрерывна на [a, b], то существует c ∈ (a, b) такое, что ∫ₐᵇ f(x) dx = f(c)(b − a). Геометрически: площадь под кривой равна площади прямоугольника со «средним» значением функции. Вторая теорема о среднем: если f монотонна и g непрерывна, то ∫ₐᵇ f(x)g(x) dx = f(a)∫ₐᶜ g dx + f(b)∫ᶜᵇ g dx для некоторого c. В теории вероятностей первая теорема о среднем означает: математическое ожидание E[f(X)] = f(c) для некоторого c — существует точка, в которой функция принимает своё «среднее» значение.