Поверхностные интегралы и формула Стокса

Зачем нужны поверхностные интегралы

Плоская пластина с переменной плотностью требовала двойного интеграла. Поверхность в пространстве — трёхмерная кривая — требует поверхностного интеграла. Физические задачи, приводящие к ним: масса поверхности с переменной плотностью, тепловой поток через неравномерно нагретую оболочку, поток жидкости через мембрану, электрический поток через поверхность (закон Гаусса). Поверхностные интегралы — язык физики полей.

Параметрически заданные поверхности

Поверхность S задаётся отображением r: D ⊂ ℝ² → ℝ³:

r(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v)), (u,v) ∈ D.

Касательные векторы: rᵤ = ∂r/∂u = (∂x/∂u, ∂y/∂u, ∂z/∂u) и r_v = ∂r/∂v — лежат в касательной плоскости к поверхности.

Вектор нормали: N = rᵤ × r_v — перпендикулярен касательной плоскости. Его длина |N| = |rᵤ × r_v| — это «коэффициент растяжения» при параметризации. Элемент площади: dS = |rᵤ × r_v| du dv.

Примеры параметризаций:

• Сфера радиуса R: r(φ,θ) = (R sin φ cos θ, R sin φ sin θ, R cos φ), φ ∈ [0,π], θ ∈ [0,2π]. |N| = R² sin φ.
• Цилиндр r = R: r(θ,z) = (R cos θ, R sin θ, z). |N| = R.
• График z = f(x,y): r(x,y) = (x, y, f(x,y)). |N| = √(fx² + fy² + 1).

Поверхностный интеграл первого рода

∬_S f dS = ∬_D f(r(u,v)) · |rᵤ × r_v| du dv.

Смысл: интегрируем скалярную функцию f по площади поверхности. Не зависит от ориентации.

Пример — масса полусферы. Поверхностная плотность ρ(x,y,z) = z, полусфера S: x² + y² + z² = R², z ≥ 0.

Параметризация: φ ∈ [0,π/2], θ ∈ [0,2π], z = R cos φ, dS = R² sin φ dφ dθ.

M = ∬_S z dS = ∫₀^{2π} ∫₀^{π/2} (R cos φ) R² sin φ dφ dθ = 2π R³ ∫₀^{π/2} cos φ sin φ dφ = 2πR³ · [sin²φ/2]₀^{π/2} = πR³.

Поверхностный интеграл второго рода (поток)

Ориентированная поверхность: выбираем единичную нормаль n = N/|N| (направление «внешнего» или «внутреннего» обхода). Тогда:

∬_S F·dS = ∬_S F·n dS = ∬_D F(r(u,v)) · (rᵤ × r_v) du dv.

Физический смысл — поток поля F через S: количество вещества/заряда/энергии, проходящего через поверхность S в единицу времени при поле скоростей/потоков F.

Пример — поток поля F = (0, 0, z) через верхнюю полусферу. Нормаль направлена «наружу» (вверх от центра). При параметризации сферы: rᵤ × r_v направлен наружу при θ ∈ [0,2π], φ ∈ [0,π/2].

F·(rᵤ × r_v) = (0, 0, R cos φ) · (R² sin²φ cos θ, R² sin²φ sin θ, R² sin φ cos φ)... (рабочие вычисления дают) = R³ sin φ cos²φ.

∬_S F·dS = ∫₀^{2π} ∫₀^{π/2} R³ sin φ cos²φ dφ dθ = 2πR³ [−cos³φ/3]₀^{π/2} = 2πR³/3.

Формула Стокса: связь ротора с циркуляцией

Теорема Стокса: Пусть S — ориентированная поверхность с кусочно-гладкой ориентированной границей ∂S (правило буравчика: если обходить ∂S, поверхность слева). Тогда:

∮_{∂S} F·dr = ∬_S (∇×F)·dS,

где ротор ∇×F = rot F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y).

Смысл: циркуляция поля по замкнутому контуру равна потоку ротора через натянутую поверхность. Ротор — «угловая скорость вращения» поля: если поле скоростей жидкости имеет ненулевой ротор, жидкость «закручивается» в этой точке.

Пример. Вычислим ∮_C F·dr, где F = (−y², 2xz, 0) и C — единичная окружность в плоскости z = 0.

Ротор: ∇×F = (∂(0)/∂y − ∂(2xz)/∂z, ∂(−y²)/∂z − ∂(0)/∂x, ∂(2xz)/∂x − ∂(−y²)/∂y) = (−2x, 0, 2z + 2y).

Натянем диск D: x² + y² ≤ 1, z = 0, нормаль n = (0,0,1).

(∇×F)·n = 2z + 2y|_{z=0} = 2y.

∬_D 2y dA = 2 ∬_D y dA = 0 (по симметрии — нечётная функция на симметричной области). ✓

Формула Гаусса–Остроградского: дивергенция и источники

Теорема Гаусса–Остроградского: Пусть V — ограниченная область с кусочно-гладкой границей ∂V, нормаль к ∂V направлена «наружу». Тогда:

∭V (∇·F) dV = ∬{∂V} F·n dS,

где дивергенция ∇·F = div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z.

Физический смысл: полный поток поля через замкнутую поверхность равен объёмному интегралу от дивергенции. div F(x₀) > 0 — точка x₀ — «источник» поля; div F < 0 — «сток».

Пример — проверка. Поле F = (x, y, z), V — шар радиуса R. div F = 3. Объём шара: 4πR³/3. Поток: 3 · 4πR³/3 = 4πR³. Проверим прямым вычислением: ∬{∂V} F·n dS = ∬{сферы} R dS = R · 4πR² = 4πR³. ✓

Уравнения Максвелла: единый язык

Четыре уравнения Максвелла в дифференциальной форме используют div и rot:

∇·E = ρ/ε₀ (электрические заряды — источники E) ∇·B = 0 (магнитных монополей нет) ∇×E = −∂B/∂t (закон Фарадея) ∇×B = μ₀j + μ₀ε₀ ∂E/∂t (закон Ампера–Максвелла)

Формула Гаусса переводит первое уравнение в закон Гаусса: полный заряд определяет поток E через любую поверхность. Формула Стокса переводит третье в закон Фарадея в интегральной форме: ЭДС в контуре = −dΦ/dt.

Вопрос для размышления: поле точечного заряда F = r/r³ (r = расстояние от заряда) имеет div F = 0 везде, кроме начала. Как можно строго вычислить поток этого поля через любую поверхность, охватывающую начало, используя теорему Гаусса–Остроградского?