Уравнения математической физики

Определения

Действие

— функционал, то есть число, сопоставляемое каждой траектории q(t) на интервале [t₁, t₂]:

Ньютоновская механика — мощный, но громоздкий инструмент, когда система имеет связи или описывается в криволинейных координатах. Представьте маятник: в декартовых координатах нужно записывать силу натяжения нити как неизвестную и затем исключать её. Лагранжев подход работает непосредственно с угл...

Лагранжева механика — это переформулировка классической механики на языке функционального исчисления: вместо сил мы оперируем энергиями, а уравнения движения следуют из единственного принципа — принципа наименьшего действия.

Представим систему из N частиц. В 3D пространстве понадобится 3N декартовых координат. Но если есть связи (нити, жёсткие стержни), часть координат зависит от остальных. Обобщённые координаты q = (q₁, ..., qₙ) — любой независимый набор параметров, однозначно задающих конфигурацию.

Примеры: маятник длиной l имеет одну степень свободу — угол θ. Двойной маятник — два угла (θ₁, θ₂). Молекула воды — 9 координат для трёх атомов, но 6 степеней свободы после 3 связей фиксированных длин. Обобщённые координаты — «естественные» переменные задачи.

Лагранжева механика работает в конфигурационном пространстве {q} и скоростях {q̇}. Гамильтонова механика переходит к фазовому пространству {q, p}, где p — обобщённые импульсы. На первый взгляд это лишь замена переменных. На деле это открывает доступ к глубокой симметрии уравнений движения, создаё...

Ключевое преимущество: уравнения Гамильтона — система первого порядка (не второго, как у Лагранжа). Это упрощает численное интегрирование и анализ устойчивости.

Смысл суммы Σ pᵢ q̇ᵢ: для точечной массы p = mv, q̇ = v, и pq̇ = mv² = 2T. Тогда H = 2T − L = 2T − (T − V) = T + V — полная механическая энергия! Это справедливо для консервативных систем с натуральными кинетическими энергиями T = (1/2)Σ mᵢ q̇ᵢ².

q̇ᵢ = ∂H/∂pᵢ — «скорость по координате» ṗᵢ = −∂H/∂qᵢ — «сила в фазовом пространстве»

Уравнения Гамильтона элегантны, но решить их в произвольных координатах сложно. Цель канонических преобразований — найти координаты (Q, P), в которых гамильтониан принимает простейший вид. В лучшем случае — H̃(Q, P) не зависит ни от Q, ни от P, и тогда уравнения тривиальны: Q̇ = const, Ṗ = 0.

Аналогия из школьной математики: при замене переменных в интегралах мы выбираем удобную параметризацию. В механике «удобная параметризация» — каноническое преобразование.

Преобразование (q, p) → (Q, P) называется каноническим, если оно сохраняет форму уравнений Гамильтона, то есть существует H̃(Q, P, t) такой, что Q̇ᵢ = ∂H̃/∂Pᵢ и Ṗᵢ = −∂H̃/∂Qᵢ.

Эквивалентное условие: преобразование сохраняет скобки Пуассона: {Qᵢ, Pⱼ}_{q,p} = δᵢⱼ.

В 1865 году Джеймс Клерк Максвелл опубликовал систему уравнений, объединивших электричество, магнетизм и свет в единую теорию. До Максвелла казалось, что это три разных явления природы. После него стало ясно: свет — это электромагнитная волна, и предсказания теории поразительно совпали с опытом.

Уравнения Максвелла записаны с помощью операторов векторного анализа: дивергенция ∇· и ротор ∇×. Они позволяют записать законы локально — в каждой точке пространства.

Читается: «дивергенция электрического поля E пропорциональна плотности электрического заряда ρ». Физически: электрические линии поля «вытекают» из зарядов. Заряд является источником E-поля.

Символы: E — вектор электрического поля (В/м); ρ — объёмная плотность заряда (Кл/м³); ε₀ = 8.85 × 10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная вакуума.

Определения

Собственное время

— dτ² = ds²/c² = dt²(1 − v²/c²). Это время, измеренное часами, движущимися с частицей. τ — инвариант. γ = 1/√(1 − v²/c²) — лоренц-фактор.

Замедление времени

— Δt = γ Δτ > Δτ. Движущиеся часы идут медленнее. Мюоны из космических лучей рождаются на высоте 10 км со скоростью 0.998c. Их собственное время жизни — 2.2 мкс. По классике: они пролетят лишь 0.998×3×10⁸×2.2×10⁻⁶ ≈ 660 м. Но γ ≈ 15, и лабораторное ...

Сокращение длины

— L = L₀/γ. В системе мюона: расстояние до Земли сокращается с 10 км до 10/15 ≈ 670 м — как раз то, что мюон успевает пролететь.

Релятивность одновременности

— события, одновременные в одной системе (dt = 0 при dx ≠ 0), не одновременны в другой.

4-импульс

— pᵘ = m uᵘ = (E/c, p). Инвариант: pᵘ pᵤ = m²c² → E² = (pc)² + (mc²)².

Формулы

В 1905 году Эйнштейн предложил радикально новый взгляд на пространство и время, основанный на двух постулатах:

1. Принцип относительности: законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта 2. Постоянство скорости света: скорость c = 3×10⁸ м/с одинакова во всех инерциальных системах, независимо от движения источника или наблюдателя

Второй постулат кажется парадоксальным: если я бегу со скоростью v навстречу свету, разве свет не должен двигаться относительно меня со скоростью c + v? Нет — и все эксперименты это подтверждают. Следствие: наши интуитивные представления о времени и пространстве ошибочны.

Вместо отдельных пространства и времени Минковский предложил единое 4-мерное пространство-время. Событие — точка (t, x, y, z). Интервал между двумя событиями:

Определения

Излучение Хокинга

— квантовый эффект у горизонта чёрной дыры — математически аналогичен тепловому излучению ускоренного наблюдателя (эффект Унру). Температура излучения: T_H = ℏc³/(8πGMk_B). Чёрная дыра массой Солнца излучает при T_H ≈ 60 нК — ненаблюдаемо, но принци...

Статический заряд создаёт лишь кулоновское поле — статическое, убывающее как 1/r². Но ускоренный заряд создаёт дополнительное поле — радиационное — которое убывает лишь как 1/r. Это критически важно: поток энергии пропорционален E²/r², и если E ~ 1/r, то поток ~ 1/r², и при интегрировании по сфер...

Электромагнитные поля от движущегося заряда приходят с опозданием: потенциал в точке r в момент t определяется положением заряда в задержанный момент tret, из которого сигнал распространялся со скоростью c:

Задержанные потенциалы: φ(r, t) = q/(4πε₀) · 1/(κR)|_ret, A = φ v/c², где R = r − r(tret) — вектор от задержанного положения, κ = 1 − R̂·β, β = v/c — параметр, учитывающий «сжатие» поля в направлении движения.

При β → 1 (релятивистское движение): κ → 0 в направлении движения — поля сильно «подпруживаются» вперёд. Это используется в синхротронных источниках света.

Квантовая механика возникла из серии экспериментальных открытий, казавшихся взаимно противоречивыми: квантование энергии (Планк), корпускулярно-волновой дуализм (де Бройль), принцип неопределённости (Гейзенберг). Дирак и фон Нейман в 1930-х годах собрали всё это в единый аксиоматический формализм...

Аксиоматический подход гарантирует: мы знаем, что именно предполагаем о природе, и можем систематически выводить предсказания. Без аксиоматики квантовая теория была бы набором рецептов без объяснений.

Состояние квантовой системы в каждый момент времени полностью описывается нормированным вектором |ψ⟩ в комплексном гильбертовом пространстве H, ‖|ψ⟩‖ = 1.

Что это означает: в классике частица имеет точные координату и импульс. В квантовой механике частица находится в «суперпозиции» — ни в одном определённом состоянии, пока нет измерения. Вектор |ψ⟩ содержит всю возможную информацию о системе. Аналогия: вместо конкретной точки на карте — облако веро...

Большинство квантовых задач решаются численно или приближённо. Но два особых случая имеют точное аналитическое решение: квантовый гармонический осциллятор и атом водорода. Они служат «строительными блоками» для всей квантовой физики — от молекулярных колебаний до спектров атомов, от фотонов в пол...

â = √(mω/2ℏ) (x̂ + ip̂/mω) — оператор уничтожения ↠= √(mω/2ℏ) (x̂ − ip̂/mω) — оператор рождения

Их коммутатор: [â, â†] = 1. Гамильтониан через них: Ĥ = ℏω(â†â + 1/2) = ℏω(N̂ + 1/2), где N̂ = â†â — оператор числа квантов.

Собственные значения: Из [N̂, â†] = ↠следует, что â†|n⟩ = √(n+1)|n+1⟩ (↠«поднимает» на уровень выше), и â|n⟩ = √n|n−1⟩ (â «опускает»). Основное состояние: â|0⟩ = 0. Все уровни: Eₙ = ℏω(n + 1/2), n = 0, 1, 2, ...

Точные решения есть лишь для немногих задач: гармонический осциллятор, атом водорода, частица в прямоугольной яме. Реальные задачи — атомы в полях, молекулы, взаимодействующие частицы — не имеют аналитических решений. Теория возмущений — систематический метод нахождения приближённых решений, если...

Идея: если мы умеем решить задачу с гамильтонианом Ĥ₀, а реальный гамильтониан Ĥ = Ĥ₀ + λĤ' (λ мало), то решения ищем в виде рядов по λ.

Постановка: Ĥ = Ĥ₀ + λĤ', где λĤ' — малое возмущение. Известны |n⁰⟩ и E_n⁰ — собственные векторы и значения Ĥ₀. Ищем: Eₙ(λ) = E_n⁰ + λEₙ⁽¹⁾ + λ²Eₙ⁽²⁾ + ...

Это матричный элемент возмущения на невозмущённом состоянии. Физически: «средняя поправка к энергии из-за возмущения».

Газ в комнате содержит ~10²⁵ молекул. Записать уравнения движения для каждой — практически невозможно. Но нам и не нужна такая детальная информация: мы хотим знать температуру, давление, теплоёмкость. Статистическая механика — это мост от микроскопических степеней свободы к макроскопическим термо...

Ключевая идея Больцмана: когда у нас нет информации о микросостоянии, мы считаем все микросостояния с одинаковой энергией равновероятными. Это гипотеза равных вероятностей — фундамент статистической механики.

Условия: Фиксированы E (энергия), V (объём), N (число частиц). Система изолирована.

Число микросостояний: Ω(E, V, N) — количество способов, которыми система может иметь данную энергию.

Вода превращается в лёд при 0°C — фазовый переход первого рода. Железо теряет магнетизм при 770°C (точка Кюри) — фазовый переход второго рода. На первый взгляд это обычные явления. На самом деле: фазовые переходы — одна из самых богатых областей теоретической физики, связывающая симметрию, статис...

Особенно интригует критическая точка: при сближении к ней флуктуации нарастают на всех масштабах, и система становится масштабно-инвариантной. Критические показатели (exponents) оказываются универсальными — одинаковыми для физически совершенно разных систем!

Первый род: Скачок первых производных свободной энергии (объём, намагниченность). Скрытая теплота L = TΔS. Сосуществование фаз. Примеры: таяние льда (ΔS = L/T ≈ 22 Дж/(моль·К)); кипение воды; переход парамагнетик → ферромагнетик во внешнем поле.

Второй род (непрерывный): Вторые производные F (теплоёмкость) расходятся или имеют разрыв. Нет скрытой теплоты, нет сосуществования фаз. Параметр порядка нарастает непрерывно от нуля при T_c. Примеры: ферромагнетик (намагниченность M→0 при T→T_c); сверхпроводимость; λ-переход жидкого гелия.

В квантовой механике тождественные частицы неразличимы — нет «частицы A» и «частицы B», есть просто «два электрона». Этот факт имеет радикальные следствия для статистики. По принципу неразличимости: волновая функция системы тождественных частиц должна быть либо симметричной (бозоны), либо антисим...

Фермионы (спин полуцелый: 1/2, 3/2, ...): Ψ(...i...j...) = −Ψ(...j...i...). Следствие (принцип Паули): два фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии.

Бозоны (целый спин: 0, 1, 2, ...): Ψ(...i...j...) = +Ψ(...j...i...). Бозоны «предпочитают» уже заполненные состояния.

Символы: ε_k — энергия уровня k; μ — химический потенциал (определяется из условия фиксированного N); β = 1/(k_BT).

Все линейные дифференциальные уравнения (ДУ) обладают принципом суперпозиции: если φ₁ и φ₂ — решения однородного уравнения, то α₁φ₁ + α₂φ₂ тоже решение. Функция Грина использует этот принцип максимально: мы находим решение для точечного источника, а затем получаем решение для любого источника чер...

Это мощная идея: вместо того чтобы решать задачу заново при каждом изменении источника, нужно один раз найти функцию Грина и затем лишь интегрировать.

Для линейного дифференциального оператора L (например, L = −∇² или L = ∂_t − κ∇²) функция Грина G(r, r') определяется как:

с соответствующими граничными условиями. Здесь δ³(r − r') — трёхмерная дельта-функция: бесконечный «пик» в точке r', нормированный так, что ∫δ³ d³r = 1.

Определения

Вычет

— коэффициент при (z − z₀)^{−1} в разложении Лорана:

Многие интегралы по вещественной оси вычисляются изящно через замыкание контура в комплексной плоскости. Идея: замкнутый интеграл по контуру C от аналитической функции = 0 (теорема Коши). Но если внутри C есть особые точки (полюсы), интеграл равен сумме вычетов, умноженной на 2πi. Выбирая умный к...

В физике этот метод встречается повсюду: вычисление пропагаторов в квантовой теории поля, дисперсионные соотношения в оптике, функции Грина в статмеханике.

Для простого полюса: Res_{z=z₀} f(z) = lim_{z→z₀} (z−z₀)f(z). Для дроби f = g/h при h(z₀)=0, g(z₀)≠0: Res = g(z₀)/h'(z₀).

Интегралы ∫_{−∞}^{+∞} f(x) dx: Замыкаем контур полуокружностью в верхней (или нижней) полуплоскости.

Определения

Преимущество спектральных методов: Для гладких функций сходимость экспоненциальная

— ошибка ~ e^{−αN} при N членах ряда. Конечноразностные схемы дают лишь алгебраическую сходимость ~ N^{−p}. Поэтому спектральные методы применяют в атмосферном моделировании, вычислительной гидродинамике (коды ORCL, DEDALE).

Дифференциальные уравнения в «x-t» пространстве содержат производные — это непросто. В «k-ω» пространстве (пространстве частот и волновых чисел) производная ∂/∂t заменяется на умножение на −iω, а ∂/∂x на ik. Дифференциальное уравнение превращается в алгебраическое! Это магия интегральных преобраз...

Дополнительный бонус: многие физические явления прозрачнее в пространстве частот. Период осцилляций, полоса пропускания, дисперсия — всё это свойства частотного спектра.

Ключевые свойства: производная → умножение (f'(x) ↔ ikF̂(k)); свёртка f*g → произведение F̂·Ĝ; теорема Парсеваля: ∫|f(x)|²dx = (1/2π)∫|F̂(k)|²dk (сохранение нормы).

Числовой пример: волновое уравнение. ∂²u/∂t² = c² ∂²u/∂x². Фурье по x: ∂²û(k,t)/∂t² = −c²k²û. Это обычное ОДУ по t! Решение: û(k,t) = A(k)e^{ickt} + B(k)e^{−ickt}. Обратное Фурье даёт формулу Даламбера: u(x,t) = f(x+ct) + g(x−ct) — волны, бегущие в обе стороны.