Канонические преобразования и переменные действие-угол

Идея: найти «идеальные» координаты

Уравнения Гамильтона элегантны, но решить их в произвольных координатах сложно. Цель канонических преобразований — найти координаты (Q, P), в которых гамильтониан принимает простейший вид. В лучшем случае — H̃(Q, P) не зависит ни от Q, ни от P, и тогда уравнения тривиальны: Q̇ = const, Ṗ = 0.

Аналогия из школьной математики: при замене переменных в интегралах мы выбираем удобную параметризацию. В механике «удобная параметризация» — каноническое преобразование.

Определение канонических преобразований

Преобразование (q, p) → (Q, P) называется каноническим, если оно сохраняет форму уравнений Гамильтона, то есть существует H̃(Q, P, t) такой, что Q̇ᵢ = ∂H̃/∂Pᵢ и Ṗᵢ = −∂H̃/∂Qᵢ.

Эквивалентное условие: преобразование сохраняет скобки Пуассона: {Qᵢ, Pⱼ}_{q,p} = δᵢⱼ.

Порождающие функции задают каноническое преобразование через уравнения связи. Четыре типа:

Тип F₁(q, Q): pᵢ = ∂F₁/∂qᵢ, Pᵢ = −∂F₁/∂Qᵢ, H̃ = H + ∂F₁/∂t

Тип F₂(q, P): pᵢ = ∂F₂/∂qᵢ, Qᵢ = ∂F₂/∂Pᵢ, H̃ = H + ∂F₂/∂t

Разбор: если F₂ = Σᵢ qᵢ Pᵢ — это тождественное преобразование (Q = q, P = p). Если F₂ = Σᵢ fᵢ(q) Pᵢ — координатное преобразование Q = f(q).

Уравнение Гамильтона–Якоби

Идея: найти F₂(q, P, t) = S(q, P, t) такую, что новый гамильтониан H̃ = 0. Тогда Ṗ = 0, Q̇ = 0 — все новые координаты и импульсы постоянны, и задача решена!

Условие H̃ = 0 при замене pᵢ = ∂S/∂qᵢ даёт уравнение Гамильтона–Якоби:

∂S/∂t + H(q, ∂S/∂q, t) = 0

Это нелинейное уравнение в частных производных для функции S(q, t). Как только найдено S, задача сведена к алгебре.

Физический смысл S: это классическое действие вдоль оптимальной траектории — ∫L dt. Квантово-механическое уравнение Шрёдингера при подстановке ψ = exp(iS/ℏ) и ℏ → 0 переходит именно в уравнение ГЯ. Классическая механика — «высокочастотный» предел квантовой!

Переменные действие-угол

Для периодических систем существуют особые координаты (J, w), где J — «действие» (инвариант), w — «угол» (равномерно меняющийся параметр).

Переменная действие (для одномерной периодической системы):

J = (1/2π) ∮ p dq

Интеграл берётся по одному периоду движения в фазовом пространстве. Единица: [J] = Дж·с (то же, что ℏ).

Сопряжённый угол w: w = ∂S/∂J, скорость ẇ = ∂H/∂J = ω(J) — постоянна.

Уравнения движения в (J, w): J̇ = −∂H/∂w = 0 (J постоянна!) и ẇ = ω(J) = const. Решение: J = const, w(t) = ω t + w₀. Переменные действие-угол полностью «расцепляют» уравнения движения!

Полный числовой пример: осциллятор

Для гармонического осциллятора H = p²/(2m) + mω²q²/2:

Шаг 1. Фазовая траектория при энергии E: эллипс q²/(2E/mω²) + p²/(2mE) = 1

Шаг 2. J = (1/2π) ∮ p dq = (1/2π) · (площадь эллипса) = (1/2π) · π · √(2E/mω²) · √(2mE) = E/ω

Шаг 3. E = Jω → H = Jω → ẇ = ∂H/∂J = ω = const ✓

Шаг 4. Квантование Бора–Зоммерфельда: J = nℏ → Eₙ = nℏω

Это даёт правильный спектр осциллятора! (Точный квантовый ответ: Eₙ = ℏω(n + 1/2), поправка 1/2 — квантовый эффект, «нулевые колебания».)

Реальное приложение: квантование Бора–Зоммерфельда

До создания квантовой механики (1920-е годы) Бор и Зоммерфельд использовали правило J = nℏ для квантования атомных орбит. Для атома водорода: J = (1/2π) ∮ p_r dr + L_φ. Результат: Eₙ = −13.6 эВ/n² — правильный водородный спектр, объясняющий серии Бальмера, Лаймана, Пашена.

Метод применялся и к вращению молекул, объясняя инфракрасные спектры. Хотя он был заменён полноценной квантовой механикой, переменные действие-угол остаются мощным инструментом в квантовой теории поля и теории хаоса.

Адиабатические инварианты

Переменная действия J является адиабатическим инвариантом: при медленном (адиабатическом) изменении параметров системы J сохраняется, даже если энергия меняется. Классический пример — маятник с постепенно укорачивающейся нитью. Пока длина l меняется медленно, J = E/ω = const, но ω = √(g/l) растёт → энергия E = Jω тоже растёт пропорционально ω. Это объясняет, почему укорачивание нити «раскачивает» маятник: работа, совершённая рукой при подтягивании нити, передаётся в кинетическую энергию колебаний. В квантовой механике теорема об адиабатическом инварианте лежит в основе «геометрической фазы» Берри (1984): при медленном адиабатическом изменении параметров гамильтониана квантовое состояние набирает геометрическую фазу, не зависящую от скорости изменения — только от пути в пространстве параметров. Эта фаза наблюдается экспериментально в интерферометрии, фотонных кристаллах и топологических изоляторах, образуя мост между классической аналитической механикой и современной топологической физикой конденсированного состояния.

Переменные действие–угол применяются в инженерии для проектирования виброзащитных систем: адиабатическое изменение параметра колебательной системы сохраняет J, что позволяет точно предсказывать поведение нелинейных механических осцилляторов при медленно меняющихся внешних условиях. В квантовом хаосе правило Бора–Зоммерфельда J = nℏ обобщается на системы с несколькими степенями свободы через KAM-тори, что напрямую связано с устойчивостью орбит в ускорителях частиц и Солнечной системе.

Задание: Маятник с энергией E < mgl (нет полных оборотов). (а) Вычислите J = (1/2π) ∮ p dθ через эллиптический интеграл. (б) Для малых колебаний: J ≈ E/ω₀, где ω₀ = √(g/l). Подтвердите квантование Бора: Eₙ = nℏω₀. (в) Как зависит ω от J при больших амплитудах? (Ответ: ω уменьшается — нелинейный осциллятор медленнее на больших амплитудах.)