Специальная теория относительности и 4-тензоры

Два постулата Эйнштейна

В 1905 году Эйнштейн предложил радикально новый взгляд на пространство и время, основанный на двух постулатах:

Принцип относительности: законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчёта
Постоянство скорости света: скорость c = 3×10⁸ м/с одинакова во всех инерциальных системах, независимо от движения источника или наблюдателя

Второй постулат кажется парадоксальным: если я бегу со скоростью v навстречу свету, разве свет не должен двигаться относительно меня со скоростью c + v? Нет — и все эксперименты это подтверждают. Следствие: наши интуитивные представления о времени и пространстве ошибочны.

Пространство-время Минковского

Вместо отдельных пространства и времени Минковский предложил единое 4-мерное пространство-время. Событие — точка (t, x, y, z). Интервал между двумя событиями:

ds² = c²dt² − dx² − dy² − dz² = ηᵘᵛ dxᵘ dxᵛ

Метрика Минковского: ηᵘᵛ = diag(+1, −1, −1, −1). Символы: dxᵘ = (c dt, dx, dy, dz) — координаты 4-вектора (верхний индекс — контравариантный). Сумма с метрическим тензором ηᵘᵛ — это скалярное произведение в пространстве-времени.

Ключевое свойство: ds² — инвариант (одинаков во всех инерциальных системах). В зависимости от знака: ds² > 0 — «времениподобный» интервал (причинная связь возможна); ds² < 0 — «пространственноподобный» (одновременны в некоторой системе); ds² = 0 — «светоподобный» (мировая линия фотона).

Собственное время: dτ² = ds²/c² = dt²(1 − v²/c²). Это время, измеренное часами, движущимися с частицей. τ — инвариант. γ = 1/√(1 − v²/c²) — лоренц-фактор.

Преобразования Лоренца

Буст вдоль x со скоростью v:

t' = γ(t − vx/c²) x' = γ(x − vt) y' = y, z' = z

Следствия:

Замедление времени: Δt = γ Δτ > Δτ. Движущиеся часы идут медленнее. Мюоны из космических лучей рождаются на высоте 10 км со скоростью 0.998c. Их собственное время жизни — 2.2 мкс. По классике: они пролетят лишь 0.998×3×10⁸×2.2×10⁻⁶ ≈ 660 м. Но γ ≈ 15, и лабораторное время жизни = γ×2.2 мкс ≈ 33 мкс. Пройденный путь: 10 км — мюоны достигают Земли. Подтверждено экспериментально!

Сокращение длины: L = L₀/γ. В системе мюона: расстояние до Земли сокращается с 10 км до 10/15 ≈ 670 м — как раз то, что мюон успевает пролететь.

Релятивность одновременности: события, одновременные в одной системе (dt = 0 при dx ≠ 0), не одновременны в другой.

4-векторы и тензоры

4-импульс: pᵘ = m uᵘ = (E/c, p). Инвариант: pᵘ pᵤ = m²c² → E² = (pc)² + (mc²)².

При m = 0 (фотон): E = pc, E = ℏω, p = ℏk. Для быстрой частицы при v → c: E ≈ pc → E = ℏω (как для фотона). Это граница между классикой и квантом.

Преобразование 4-тензора Tᵘᵛ: T'ᵘᵛ = Λᵘₐ Λᵛᵦ Tᵅᵝ, где Λ — матрица Лоренца. Любой физический закон, записанный через 4-тензоры, автоматически ковариантен — выглядит одинаково во всех инерциальных системах.

Электромагнитный тензор

E и B объединяются в антисимметричный тензор Фарадея Fᵘᵛ:

Fᵘᵛ = ∂ᵘ Aᵛ − ∂ᵛ Aᵘ (где Aᵘ = (φ/c, A) — 4-потенциал)

Четыре уравнения Максвелла записываются в двух компактных ковариантных уравнениях: ∂ᵥ Fᵘᵛ = μ₀ Jᵘ и ∂₍α Fβγ₎ = 0. Ковариантная форма показывает, что уравнения Максвелла изначально релятивистски инвариантны — Эйнштейн просто не изменял их, а показал их истинный геометрический смысл.

Числовой пример: распад пиона

Нейтральный пион π⁰ покоится и распадается на два фотона. Масса пиона: m_π = 135 МэВ/c². В системе покоя: оба фотона летят в противоположных направлениях, каждый с энергией E = m_π c²/2 = 67.5 МэВ.

Если пион летит со скоростью v = 0.9c (γ = 2.29), и один фотон летит вперёд, другой — назад. В лабораторной системе: E₁ = γ(1+β)·67.5 МэВ ≈ 286 МэВ; E₂ = γ(1−β)·67.5 МэВ ≈ 16 МэВ. Асимметрия фотонов прямо проявляется в детекторах частиц.

Специальная теория относительности в практических системах

Релятивистские эффекты важны не только для физики частиц, но и для критических инженерных систем. Спутники GPS движутся со скоростью около 3.9 км/с и испытывают замедление хода часов на 7.2 мкс/день вследствие специальной теории относительности; одновременно гравитационный синий сдвиг общей теории относительности добавляет плюс 45.9 мкс/день. Суммарная поправка около 38 мкс/день учитывается в прошивке GPS-приёмников: без релятивистских поправок ошибка позиционирования накапливалась бы со скоростью около 10 км/день. В ускорителях частиц (БАК в ЦЕРН) протоны разгоняются до Лоренц-фактора γ ≈ 7000, и все расчёты траекторий, потерь на синхротронное излучение и систем управления пучком ведутся строго в релятивистской механике. Масс-спектрометры высокого разрешения также используют релятивистскую динамику для точного определения масс тяжёлых ядер и изотопов. Электроны в ускорителях для медицинской лучевой терапии достигают γ ≈ 20–100, и планирование дозы облучения опухоли требует учёта релятивистского угла излучения.

Задание: (а) Мюон создаётся на высоте 10 км со скоростью 0.998c, τ₀ = 2.2 мкс. Достигнет ли Земли? Вычислите пройденный путь в системе лаборатории и в системе мюона. (б) Из трансформации Fᵘᵛ при буст вдоль x получите: E'x = Ex (продольное E не меняется), E'y = γ(Ey − vBz) (поперечное E смешивается с B). Физический смысл этого смешения.