Электромагнитные волны и излучение

Почему ускоренный заряд излучает?

Статический заряд создаёт лишь кулоновское поле — статическое, убывающее как 1/r². Но ускоренный заряд создаёт дополнительное поле — радиационное — которое убывает лишь как 1/r. Это критически важно: поток энергии пропорционален E²/r², и если E ~ 1/r, то поток ~ 1/r², и при интегрировании по сфере всё бо́льшего радиуса получаем конечную мощность. Ускоренный заряд переносит энергию на бесконечность — и именно это называется излучением.

Задержанные потенциалы Лиенара–Вихерта

Электромагнитные поля от движущегося заряда приходят с опозданием: потенциал в точке r в момент t определяется положением заряда в задержанный момент tret, из которого сигнал распространялся со скоростью c:

|r − r(tret)| = c(t − tret)

Задержанные потенциалы: φ(r, t) = q/(4πε₀) · 1/(κR)|_ret, A = φ v/c², где R = r − r(tret) — вектор от задержанного положения, κ = 1 − R̂·β, β = v/c — параметр, учитывающий «сжатие» поля в направлении движения.

При β → 1 (релятивистское движение): κ → 0 в направлении движения — поля сильно «подпруживаются» вперёд. Это используется в синхротронных источниках света.

Формула Лармора

Мощность излучения нерелятивистского ускоренного заряда:

P = q²a²/(6πε₀c³)

Разбор: q — заряд (Кл); a — ускорение (м/с²); c — скорость света; ε₀ — электрическая постоянная. P ∝ a² — удвоение ускорения вчетверо усиливает мощность. P ∝ q² — более тяжёлые частицы (протоны) при том же ускорении излучают в (mₑ/mₚ)² ≈ 3×10⁻⁷ раз слабее.

Релятивистское обобщение: P = q²/(6πε₀c) · aμaᵘ, где aμ — 4-ускорение.

Числовой пример: электрон на боровской орбите

Классический электрон движется по первой боровской орбите: r₁ = 0.529 Å, v = c/137 ≈ 2.19 × 10⁶ м/с. Центростремительное ускорение: a = v²/r₁ = (2.19 × 10⁶)²/(0.529 × 10⁻¹⁰) ≈ 9.06 × 10²² м/с²

Мощность по Лармору: P = (1.6×10⁻¹⁹)²·(9.06×10²²)²/(6π·8.85×10⁻¹²·(3×10⁸)³) ≈ 4.6 × 10⁻⁸ Вт

Энергия атома водорода в основном состоянии: E = −13.6 эВ ≈ −2.18 × 10⁻¹⁸ Дж. Время «падения» на ядро: t = E/P ≈ 2.18×10⁻¹⁸/4.6×10⁻⁸ ≈ 5 × 10⁻¹¹ с — 50 пикосекунд!

Это знаменитая катастрофа: классическая электродинамика предсказывает, что атом должен коллапсировать за ≈50 пс. Именно это противоречие и потребовало создания квантовой механики. Квантование орбит (Бор, 1913) «запрещает» излучение на стационарных уровнях.

Дипольное излучение

Для осциллирующего электрического диполя p(t) = p₀ cos(ωt) ẑ мощность излучения:

P = ω⁴ p₀²/(12πε₀c³)

Зависимость ~ ω⁴ объясняет «Голубое небо»: рассеяние Рэлея атмосферой ~ ω⁴, поэтому синий свет (f ≈ 600 ТГц) рассеивается в (600/400)⁴ ≈ 5 раз сильнее красного (f ≈ 400 ТГц). Голубой свет рассеян по всему небосводу — небо голубое!

Синхротронное излучение

Электрон в магнитном поле движется по кругу: ускорение a = v²/R. По Лармору: P ~ a² ~ v⁴/R². Синхротронные источники света (ESRF в Гренобле, DESY в Гамбурге): электроны ускорены до Е ~ несколько ГэВ, γ ~ 10⁴–10⁵. Их излучение — яркий, узкий пучок в рентгеновском диапазоне. Применяется для изучения структуры белков, наноматериалов, в медицинской диагностике.

Черенковское излучение

Если заряженная частица движется в среде быстрее скорости света в этой среде (v > c/n), она излучает «черенковский конус». Угол конуса: cos θ = c/(nv). Применение: детекторы частиц в физике высоких энергий (кольцевые черенковские счётчики RICH), используемые в LHCb на Большом адронном коллайдере.

Излучение Хокинга — квантовый эффект у горизонта чёрной дыры — математически аналогичен тепловому излучению ускоренного наблюдателя (эффект Унру). Температура излучения: T_H = ℏc³/(8πGMk_B). Чёрная дыра массой Солнца излучает при T_H ≈ 60 нК — ненаблюдаемо, но принципиально важно для квантовой гравитации.

Электромагнитные волны в технике и медицине

Электромагнитный спектр охватывает 20 порядков по частоте и лежит в основе всей современной цивилизации. Радиоволны используются для AM/FM-радиовещания, дальней связи, радаров и навигации. Микроволны обеспечивают работу мобильной связи, Wi-Fi, спутниковых систем и магнетронных печей. Инфракрасное излучение применяется в тепловидении, дистанционных термометрах и оптических линиях связи. Видимый свет — основа лазерных технологий: хирургия сетчатки, высокоточная резка и сварка металлов, оптическая литография при производстве микрочипов с разрешением нескольких нанометров. Ультрафиолет используется для стерилизации воды и медицинского оборудования, а также в фотолитографии интегральных схем. Рентгеновское излучение применяется в медицинской диагностике, компьютерной томографии и кристаллографии, позволяющей определять атомную структуру белков. Гамма-излучение используется в ядерной медицине: позитронно-эмиссионная томография и гамма-нож для лечения опухолей головного мозга. Синхротронное излучение (результат торможения релятивистских электронов) — мощный инструмент исследования в структурной биологии, материаловедении и нанонауке.

Формула Лармора имеет важное следствие для ускорителей: синхротронное излучение ограничивает максимальную энергию электронного накопительного кольца. Именно поэтому БАК ускоряет протоны (масса в 1836 раз больше → потери в 10¹³ раз меньше), а не электроны. Синхротроны для электронов (ESRF, APS, SPring-8) используют эти потери как источник яркого рентгеновского излучения для исследований структуры белков и материалов.

Задание: (а) Для электрона на боровской орбите: вычислите P по Лармору и время потери всей энергии (−13.6 эВ). (б) Антенна — диполь длиной 1 м, ток 1 А на частоте 100 МГц. Найдите P_излучение. Какова длина волны? (в) В синхротроне электрон с E = 1 ГэВ (γ = 2000) движется по кругу R = 10 м. Вычислите P в релятивистском случае (подставьте в P = q²γ⁴v⁴/(6πε₀c³R²)).