Квантовая статистика и конденсат Бозе-Эйнштейна

Квантовая статистика и конденсат Бозе-Эйнштейна

Квантовая статистика: два типа частиц

В квантовой механике тождественные частицы неразличимы — нет «частицы A» и «частицы B», есть просто «два электрона». Этот факт имеет радикальные следствия для статистики. По принципу неразличимости: волновая функция системы тождественных частиц должна быть либо симметричной (бозоны), либо антисимметричной (фермионы) по перестановке любых двух частиц.

Фермионы (спин полуцелый: 1/2, 3/2, ...): Ψ(...i...j...) = −Ψ(...j...i...). Следствие (принцип Паули): два фермиона не могут находиться в одном квантовом состоянии.

Бозоны (целый спин: 0, 1, 2, ...): Ψ(...i...j...) = +Ψ(...j...i...). Бозоны «предпочитают» уже заполненные состояния.

Идеальный ферми-газ

Числа заполнения для фермионов — распределение Ферми–Дирака:

⟨n_k⟩ = 1 / (e^{β(ε_k − μ)} + 1)

Символы: ε_k — энергия уровня k; μ — химический потенциал (определяется из условия фиксированного N); β = 1/(k_BT).

При T = 0: ⟨n_k⟩ = 1 при ε_k < μ(0) ≡ E_F и 0 при ε_k > E_F. Все уровни ниже уровня Ферми E_F заполнены. Ферми-энергия:

E_F = (ℏ²/2m)(3π²n)^{2/3}

Для электронов в меди: n ≈ 8.5 × 10²⁸ м⁻³, E_F ≈ 7 эВ. Соответствующая температура Ферми T_F = E_F/k_B ≈ 81 000 К >> 300 К. Электроны в металле при комнатной температуре ведут себя как «холодный» Ферми-газ!

При T > 0: Распределение «размывается» вблизи E_F на полосе шириной ~k_BT. Теплоёмкость: C_V^e = (π²/2) n k_B (T/T_F) << k_B. Это объясняет, почему электроны почти не вносят вклад в теплоёмкость металлов при комнатной температуре — давняя загадка классической физики!

Идеальный бозе-газ и конденсат Бозе-Эйнштейна

Распределение Бозе–Эйнштейна:

⟨n_k⟩ = 1 / (e^{β(ε_k − μ)} − 1)

Требование: μ ≤ min(ε_k) = 0. При μ → 0⁻ при фиксированных N и T: если T достаточно низка, суммарное число частиц в возбуждённых состояниях «насыщается», и все «лишние» частицы падают в основное состояние ε₀ = 0. Это и есть конденсат Бозе–Эйнштейна (БЭК).

Критическая температура:

T_c = (2πℏ²/mk_B) · (n/ζ(3/2))^{2/3} ≈ 3.31 ℏ²n^{2/3}/(mk_B)

где ζ(3/2) ≈ 2.612 — дзета-функция Римана.

Доля конденсата: N₀/N = 1 − (T/T_c)^{3/2} при T < T_c

Физический смысл: При T < T_c все атомы «коллективно» попадают в одно квантовое состояние с нулевым импульсом — они образуют единую когерентную квантовую волновую функцию. Аналог: лазерный свет (все фотоны в одной моде).

Числовой пример: БЭК рубидия

Первое наблюдение БЭК (Корнелл, Виман, Кеттерле — Нобелевская премия 2001): ⁸⁷Rb при n ~ 10¹⁸ − 10¹⁹ м⁻³.

Масса ⁸⁷Rb: m = 87 × 1.66 × 10⁻²⁷ кг ≈ 1.44 × 10⁻²⁵ кг.

При n = 10¹⁸ м⁻³: T_c = 3.31 × (1.055×10⁻³⁴)² × (10¹⁸)^{2/3} / (1.44×10⁻²⁵ × 1.38×10⁻²³) ≈ 170 нК!

Это рекорд минимальных температур — в 170 миллиардов раз холоднее комнатной температуры.

N₀/N при T = 0.5 T_c: 1 − (0.5)^{3/2} ≈ 1 − 0.354 ≈ 65% атомов в конденсате.

Уравнение Гросса–Питаевского

Для взаимодействующего БЭК волновая функция конденсата Ψ(r, t) удовлетворяет:

iℏ ∂Ψ/∂t = [−ℏ²∇²/(2m) + V_ext + g|Ψ|²] Ψ

Нелинейный член g|Ψ|² описывает взаимодействие между атомами (g = 4πaℏ²/m, a — длина рассеяния). Это нелинейное уравнение Шрёдингера предсказывает: форму конденсата в ловушке; динамику — коллективные осцилляции (звук); квантовые вихри (аналог вихрей в сверхтекучей жидкости).

Связь со сверхпроводимостью и лазерами

Сверхпроводник — тоже вид БЭК: куперовские пары (два электрона, связанных через фонон) — бозоны. При T < T_c они конденсируются. Уравнение Гросса–Питаевского для куперовских пар → уравнение Гинзбурга–Ландау. Именно нулевое сопротивление объясняется когерентностью конденсата — рассеяние не разрушает ток.

Лазер — стимулированное излучение в один и тот же фотонный моды: тоже вариант бозонного «конденсата». Когерентность лазера аналогична когерентности БЭК.

Квантовая статистика в сверхпроводниках и атомных технологиях

Квантовые статистики Бозе–Эйнштейна и Ферми–Дирака лежат в основе важнейших современных технологий. Сверхпроводящие квантовые интерфейсы, используемые в квантовых компьютерах IBM, Google и IonQ, работают при температурах ~15 мК, где куперовские пары бозонизируются и образуют макроскопическую конденсированную фазу — прямое приложение статистики Бозе–Эйнштейна. Транспорт электронов в нанопроводах и квантовых точках описывается распределением Ферми–Дирака с квантованием уровней, что используется для создания одноэлектронных транзисторов для сверхчувствительных датчиков. Рефрижераторы растворения — технология охлаждения до 10 мК — используют ферми-статистику изотопов гелия (³He — фермион, ⁴He — бозон). Атомные интерферометры на БЭК конденсате используются для геодезии (измерение ускорения свободного падения с точностью 10⁻¹⁰ g) и инерциальной навигации без GPS. Нейтронная звезда — макроскопический объект, удерживаемый давлением Ферми-газа нейтронов против гравитационного коллапса: статистика Ферми–Дирака имеет астрофизический масштаб.

Квантовая дегенерация — не только академический интерес. В плазме белых карликов электроны образуют ферми-газ, где давление вырождения препятствует гравитационному сжатию. Предел Чандрасекара (1.4 масс Солнца) — это предел, при котором ферми-давление перестаёт удерживать гравитацию, что определяет судьбу звезды: белый карлик или нейтронная звезда. Атомные интерферометры с бозе-конденсатом сейчас превосходят лучшие механические гравиметры по точности измерения g в 100 раз — итог прямого приложения квантовой статистики.

Задание: (а) Для ⁸⁷Rb при n = 10¹⁸ м⁻³: вычислите T_c. При T = 100 нК: найдите N₀/N. (б) Электроны в металле: для меди (n = 8.5×10²⁸ м⁻³) вычислите E_F и T_F. Почему классическая теория предсказывает неправильную теплоёмкость? (в) Что конденсирует в сверхпроводнике? Чем куперовские пары отличаются от обычных бозонов?