Функции Грина и граничные задачи

Принцип суперпозиции как инструмент

Все линейные дифференциальные уравнения (ДУ) обладают принципом суперпозиции: если φ₁ и φ₂ — решения однородного уравнения, то α₁φ₁ + α₂φ₂ тоже решение. Функция Грина использует этот принцип максимально: мы находим решение для точечного источника, а затем получаем решение для любого источника через суперпозицию (свёртку).

Это мощная идея: вместо того чтобы решать задачу заново при каждом изменении источника, нужно один раз найти функцию Грина и затем лишь интегрировать.

Определение функции Грина

Для линейного дифференциального оператора L (например, L = −∇² или L = ∂_t − κ∇²) функция Грина G(r, r') определяется как:

L G(r, r') = δ³(r − r')

с соответствующими граничными условиями. Здесь δ³(r − r') — трёхмерная дельта-функция: бесконечный «пик» в точке r', нормированный так, что ∫δ³ d³r = 1.

Физический смысл G(r, r'): это поле (температура, потенциал, давление) в точке r, создаваемое единичным точечным источником в точке r'.

Применение: Если источник распределён с плотностью f(r'), то уравнение Lφ = f имеет решение:

φ(r) = ∫ G(r, r') f(r') d³r'

Это свёртка — «взвешенная суперпозиция» функции Грина по всем источникам.

Функции Грина для классических уравнений

Уравнение Пуассона: −∇²G = δ(r − r') в ℝ³ (уравнение электростатики).

Решение (с условием G → 0 при r → ∞):

G(r, r') = 1 / (4π|r − r'|)

Физически: потенциал точечного единичного заряда. При ρ(r') — плотность заряда: φ(r) = (1/4πε₀) ∫ ρ(r')/|r − r'| d³r' — формула Кулона для распределённых зарядов.

Уравнение теплопроводности: (∂_t − κ∇²)G = δ(r−r')δ(t−t')

Решение при t > t':

G(r,t;r',t') = [4πκ(t−t')]^{−3/2} exp(−|r−r'|²/[4κ(t−t')])

Это «гауссов пакет», расширяющийся со временем. При t → t'+0: G → δ³(r−r') (мгновенное тепловое «пятно»). При больших t: тепло размазывается по всему пространству.

Уравнение Гельмгольца: (∇² + k²)G = −δ(r − r')

Исходящая волна (условие Зоммерфельда):

G(r, r') = e^{ik|r−r'|} / (4π|r−r'|)

Это сферическая волна, излучаемая точечным источником. Применение: рассеяние волн, дифракция, звуковые поля в акустике.

Числовой пример: заряженный шар

Равномерно заряженный шар радиуса R, плотность ρ₀, в вакууме. Найти потенциал φ(r).

Шаг 1. Для r > R (вне шара): φ = (1/4πε₀) ∫_{|r'|<R} ρ₀/|r−r'| d³r' = ρ₀(4πR³/3)/(4πε₀r) = Q/(4πε₀r) — как для точечного заряда! (Теорема Гаусса в электростатике.)

Шаг 2. Для r < R (внутри): дополнительный вклад от заряда при r' > r: φ_внутри = Q/(4πε₀R) − ρ₀(r² − R²)/(6ε₀). Потенциал квадратичен по r внутри шара.

Проверка: ∇²φ = −ρ₀/ε₀ внутри ✓; ∇²φ = 0 снаружи ✓.

Метод изображений

Функция Грина часто находится методом изображений: реальный заряд q у проводящей плоскости при z = 0 дополняется «изображением» −q при z → −z. Суперпозиция двух функций Грина автоматически обнуляет потенциал на плоскости — граничное условие выполнено!

Аналогично: акустика (отражение от стен), гидродинамика (движение у стенки), теория конформных отображений в 2D.

Реальные приложения

МРТ (магнитно-резонансная томография): уравнение Блоха для намагниченности — линейное, и его функция Грина (импульсный отклик) позволяет восстанавливать изображения методом обратного преобразования Фурье.

Акустическая диагностика: ультразвуковые датчики излучают импульс и принимают отражение. Принятый сигнал — свёртка функции Грина среды с функцией источника.

Нанофотоника: функция Грина электромагнитного поля используется для расчёта скорости спонтанного излучения вблизи наночастиц (эффект Парселла).

Связь с теорией Фурье: Функция Грина уравнения теплопроводности — гауссово ядро — в пространстве Фурье принимает вид e^{−κk²t}. Это означает: пространственные гармоники с большим волновым числом k (мелкие детали) затухают быстрее, чем крупные (малые k). Тепловая диффузия — фильтрация высоких пространственных частот: любой «острый» температурный профиль со временем сглаживается в широкий гауссов пик.

Функции Грина в инженерной механике и геофизике

Метод функций Грина — универсальный подход к решению краевых задач с источниками. В строительной механике задача о деформации балки под сосредоточенной нагрузкой решается через функцию Грина уравнения четвёртого порядка: функция Грина представляет собой перемещение балки от единичной силы и позволяет вычислить прогиб от произвольной нагрузки интегрированием. В геофизике сейсмические волны от землетрясений описываются через тензор Грина — решение уравнения упругих волн от точечного источника. Зная тензор Грина среды, можно восстановить механизм очага землетрясения из сейсмограмм на поверхности — метод, используемый геофизическими службами по всему миру. В акустике метод граничных элементов использует функцию Грина уравнения Гельмгольца для расчёта звукового поля в помещении, распространения акустики подводных лодок и шумового загрязнения городской среды. В электромагнетизме тензор Грина позволяет вычислить поле от произвольного источника в сложной геометрии, что применяется при проектировании антенн и экранировании от электромагнитных помех. В квантовой теории поля функция Грина (пропагатор) описывает амплитуду перемещения квантового поля и является основным объектом, вычисляемым через фейнмановские диаграммы.

Задание: (а) Вычислите φ(r) от шара радиуса R с объёмной плотностью ρ₀ через G Пуассона. Сравните с теоремой Гаусса. (б) Постройте функцию Грина для 1D уравнения Гельмгольца u'' + k²u = −δ(x) на полупрямой x > 0 с граничным условием u(0) = 0. (Ответ: G = sin(kx<) e^{ikx>}/k — где x< = min(x,x'), x> = max(x,x').) (в) Как из G уравнения теплопроводности получить решение для начального условия u(x,0) = f(x)?