Функционалы и уравнение Эйлера-Лагранжа

Представьте, что вы натягиваете верёвку между двумя гвоздями: какую форму она примет? Или: по какой кривой шарик скатится за минимальное время? В обычном дифференциальном исчислении мы ищем число x, минимизирующее функцию f(x). Здесь же неизвестное — целая функция y(x), а минимизировать надо «сумму» (интеграл) её свойств. Этим и занимается вариационное исчисление — теория экстремумов функционалов, отображений из пространства функций в ℝ. Многие фундаментальные законы физики (принцип наименьшего действия в механике, принцип Ферма в оптике) суть условия стационарности функционалов, поэтому язык вариационного исчисления — это язык, на котором природа «формулирует» свои законы.

Постановка задачи вариационного исчисления

Задача: Найти функцию y(x) на отрезке [a, b], минимизирующую функционал J[y] = ∫_a^b F(x, y, y') dx при граничных условиях y(a) = y_a, y(b) = y_b.

Расшифруем символы. F(x, y, y') — лагранжиан, «плотность» интересующей нас величины: например, длины дуги, времени проезда, действия. x — независимая переменная (часто координата или время), y — искомая функция, y' = dy/dx — её производная. Интеграл J[y] суммирует вклад каждой точки траектории.

В физике обычно F = T − V (кинетическая энергия минус потенциальная), и J называют действием. В оптике F = n(x, y)·√(1 + y'²), где n — показатель преломления, а J — оптический путь.

Вариация функционала. Чтобы понять, какое y минимизирует J, рассматриваем «возмущённое» семейство y_ε(x) = y(x) + ε·η(x), где η — произвольная функция, обнуляющаяся на концах: η(a) = η(b) = 0 (граничные условия фиксированы). Получаем числовую функцию J(ε) = ∫a^b F(x, y_ε, y_ε') dx, и из условия экстремума dJ/dε|{ε=0} = 0 для любого η выводим уравнение на y.

Уравнение Эйлера-Лагранжа

После дифференцирования по ε и интегрирования по частям получаем:

∫_a^b [∂F/∂y − d/dx(∂F/∂y')] η(x) dx = 0 для всех допустимых η.

По лемме Дюбуа-Реймона подынтегральное выражение тождественно равно нулю, и мы получаем уравнение Эйлера-Лагранжа:

∂F/∂y − d/dx(∂F/∂y') = 0.

Это обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка для y(x). Здесь ∂F/∂y — частная производная лагранжиана по y при фиксированных x, y', а d/dx(∂F/∂y') — полная производная по x от ∂F/∂y' (при подстановке y(x), y'(x)).

Классические примеры

1. Кратчайший путь (геодезика на плоскости). F = √(1 + y'²) — элемент длины. Лагранжиан не зависит от y, поэтому ∂F/∂y = 0 и d/dx(∂F/∂y') = 0, то есть ∂F/∂y' = const. Отсюда y' = const, y = ax + b — прямая. Например, между точками (0, 0) и (3, 4) кратчайший путь длины 5 — отрезок прямой.

2. Брахистохрона. Найти кривую, по которой шарик скатывается из (0, 0) в (a, b) за минимальное время. Из закона сохранения энергии скорость v = √(2gy), поэтому время T = ∫ ds/v = ∫ √((1 + y'²)/(2gy)) dx. Решение — циклоида: x = r(θ − sin θ), y = r(1 − cos θ). Удивительный факт: брахистохрона быстрее наклонной прямой, хотя её длина больше.

3. Изопериметрическая задача. Среди замкнутых кривых длины L найти ту, что охватывает максимальную площадь. С помощью множителя Лагранжа λ для условия ∫ ds = L получается уравнение, чьё решение — окружность радиуса L/(2π).

Численный пример: минимизация ∫_0^1 (y² + y'²) dx, y(0) = 1, y(1) = 0

F = y² + y'². ∂F/∂y = 2y, ∂F/∂y' = 2y', d/dx(∂F/∂y') = 2y''. EL: 2y − 2y'' = 0 → y'' = y. Общее решение y = C₁e^x + C₂e^{−x}. Граничные условия: C₁ + C₂ = 1, C₁e + C₂/e = 0 → C₁ = −1/(e² − 1), C₂ = e²/(e² − 1). Подставив в J, получаем J* ≈ 0.762, что меньше, чем J = ∫(1 − x)² + 1 dx = 4/3 ≈ 1.333 для линейной y = 1 − x.

Расширения

Несколько функций. Если y = (y₁, ..., yₙ), для каждой yᵢ выписывается своё уравнение: ∂F/∂yᵢ − d/dx(∂F/∂yᵢ') = 0 — система EL.

Старшие производные. ∫ F(x, y, y', y'') dx → уравнение Эйлера-Пуассона: ∂F/∂y − d/dx(∂F/∂y') + d²/dx²(∂F/∂y'') = 0. Используется в теории упругих балок (балка Эйлера-Бернулли).

Реальные применения

• Архитектура и инженерия. Форма арок и подвесных мостов выводится из минимизации потенциальной энергии — цепная линия y = a·cosh(x/a). Висячий мост Golden Gate, своды соборов проектируются по таким кривым.
• Оптика. Принцип Ферма даёт законы отражения и преломления. Вся геометрическая оптика — следствие вариационного принципа.
• Машинное обучение. Обучение моделей сводится к минимизации функционала ошибки — это «дискретный» аналог вариационной задачи. Регуляризация (например, Tikhonov) добавляет к функционалу штраф ∫(y')² dx, чтобы получить гладкие решения.
• Финансы. Оптимальные траектории потребления и инвестирования (модель Мертона) находятся как экстремали соответствующего функционала ожидаемой полезности.

Задание: (а) Найдите кривую минимальной поверхности вращения (катеноид) между y(x₁) = y₁, y(x₂) = y₂. F = 2πy√(1 + y'²). Запишите EL и покажите, что решение y = a·cosh((x − b)/a). (б) Задача Дидоны: max ∫y dx при ∫√(1 + y'²) dx = L, y(0) = y(L) = 0. Найдите форму кривой (полуокружность).