Броуновское движение: конструкция и свойства

Броуновское движение (Винеровский процесс) — математическая модель хаотического движения, описанного Броуном в 1827 году при наблюдении пыльцы на воде. Оно является пределом случайных блужданий и фундаментом стохастического анализа.

Определение и конструкция

Стандартное броуновское движение: Процесс {W_t, t ≥ 0} такой, что:

1. W₀ = 0
2. Независимость приращений: W_{t₄}-W_{t₃} ⊥ W_{t₂}-W_{t₁} при 0≤t₁<t₂≤t₃<t₄
3. Нормальность: W_t - W_s ~ N(0, t-s)
4. Непрерывность траекторий: t → W_t непрерывно

Конструкция (Леви-Чентсов): Через гауссовский ряд по функциям Хаара: W_t = Σ_{n,k} Z_{nk}·H_{nk}(t). Или через ЦПТ: W_t = lim_{n→∞} S_{⌊nt⌋}/√n (скейлинговый предел случайного блуждания).

Ключевые свойства

Негладкость: W_t везде непрерывно, но нигде не дифференцируемо (п.н.). Вариация: полная вариация бесконечна, квадратичная вариация [W]_t = t (конечна!). [W,W]_t = t — «ключевой факт», на котором строится лемма Ито.

Самоподобие: {W_{ct}} =_d {√c W_t} (в смысле конечномерных распределений). Масштабирование.

Отражение (reflection principle): P(max_{s≤t} W_s ≥ a) = 2P(W_t ≥ a) = 2(1-Φ(a/√t)).

Задание: (а) Симулируйте броуновское движение как предел случайного блуждания: n=1000 шагов за T=1. Нарисуйте 10 траекторий. (б) Вычислите E[W_t²], E[W_t⁴], Var[W_t²]. (в) P(W_1 > 1, W_2 > 2)? Используйте двумерное нормальное.

Броуновское движение: конструкция и свойства

Конструкция Леви-Чинчина: W_t = Σₙ Zₙ hₙ(t), где hₙ — функции Хаара, Zₙ ~ N(0,1) i.i.d. Сходимость в L² и п.н. В пределе — непрерывные, но нигде не дифференцируемые траектории.

Вариация Броуновского движения: Суммарная вариация |W_t| = ∞ п.н. Квадратическая вариация: [W]_t = t (детерминировано!). Это фундаментально для стохастического интегрирования.

Принцип отражения: Для τ = min{t: W_t = a}: P(max_{s≤t} W_s ≥ a) = 2P(W_t ≥ a). Время первого достижения уровня a: τ ~ Lévy inverse Gaussian. Применяется в теории разорения страховой компании.

Пространство путей и меры Винера

Мера Винера W на C[0,∞) — вероятностная мера броуновских путей. Конечномерные распределения: (W_{t₁},...,W_{tₙ}) ~ N(0, Σ), Σᵢⱼ = min(tᵢ, tⱼ). Характеризует W полностью (теорема Колмогорова).

Условное броуновское движение (Мост Броуна): W_t|(W_T=0): броуновский мост. Используется в статистике: тест Колмогорова-Смирнова — распределение максимума броуновского моста. E[W_t|W_T=0] = 0; Cov(t,s|W_T=0) = min(t,s) − ts/T.

Многомерное броуновское движение и корреляция

Для d-мерного GBM с вектором сносов μ и матрицей корреляций Σ: dS = diag(S)(μdt + Σ^{1/2}dW). Моделирование портфеля активов. Розложение Холецкого: Σ = LLᵀ. Симуляция: dS = diag(S)(μdt + L·dZ), где Z ~ N(0,Idt).

Стохастические дифференциальные уравнения: существование и единственность

Для SDE dX = b(X,t)dt + σ(X,t)dW: при условии Липшица и линейного роста: |b(x,t)−b(y,t)| + |σ(x,t)−σ(y,t)| ≤ K|x−y|, |b(x,t)| + |σ(x,t)| ≤ K(1+|x|) — существует единственное сильное решение. Слабые решения существуют при более слабых условиях (теорема Строка-Вараданьяна). Пример нарушения: dX = sign(X)|X|^{1/2}dW — нет единственности (Tanaka SDE).

Процессы с прыжками: модели Ле́ви

Обобщение Броуновского движения включением прыжков: X_t = μt + σW_t + Σᵢ Yᵢ·I(Nₜ ≥ i), где N — Пуассоновский процесс, Yᵢ ~ F. Процесс Ле́ви: независимые стационарные приращения, стохастически непрерывные. Характеристическая тройка (μ, σ², ν): ν — мера прыжков (мера Ле́ви). Формула Ле́ви-Хинчина: E[e^{iuX_t}] = exp{t·(iμu − σ²u²/2 + ∫(e^{iuy}−1−iuy·I(|y|<1))ν(dy))}.

Измерение рисков: VaR и CVaR

Value at Risk (VaR_α): VaR_α(X) = inf{m: P(X+m < 0) ≤ 1−α}. Квантиль убытков уровня α. Проблема: не субаддитивен — диверсификация может увеличить VaR. Expected Shortfall (CVaR): CVaR_α = (1/(1−α))∫_{α}^1 VaR_u du = E[X|X > VaR_α]. Когерентная мера риска: субаддитивность, монотонность, однородность, трансляционность. Базель III требует CVaR₉₇.₅% вместо VaR₉₉%.

Численные методы в стохастических задачах

Схема Эйлера-Маруямы для SDE: Xₜ₊Δ ≈ Xₜ + b(Xₜ)Δt + σ(Xₜ)ΔWₜ. Порядок сходимости 1/2 (слабой) и 1 (для функционалов). Схема Милштейна: добавляет член коррекции σ·σ'·(ΔW²−Δt)/2 — порядок 1. Метод Рунге-Кутта для SDE — более высокий порядок, но сложнее. Квазимонте-Карло для SDE: заменить стохастические вынуждения низкодискрепантными последовательностями → лучшая сходимость для гладких функционалов.

Формула Феймана-Каца

Связывает PDE и стохастические процессы. Если V удовлетворяет ∂V/∂t + LV + f = 0 (L — генератор), то V(x,t) = E[∫ₜᵀ f(X_s,s)ds + g(X_T) | X_t=x]. Это мощный инструмент: задача о ценообразовании деривативов (B-S уравнение) решается через ожидание по траекториям. Обратно: ожидание по траекториям СДУ — решение соответствующего PDE. Применяется в квантовой физике (функциональный интеграл Фейнмана) и стохастических моделях.

Фильтрация и оценивание состояний

Нелинейная фильтрация: частица-фильтр (Sequential Monte Carlo). На каждом шаге: вес wᵢ ∝ P(y_t|xᵢ_t)·P(xᵢ_t|xᵢ_{t-1})/q(xᵢ_t|y_t). Ресэмплинг при ESS < n/2. Теорема Дель Мораля: при n→∞ эмпирическое распределение частиц → апостериорный фильтр. Применяется в навигации (GPS + IMU), финансовой фильтрации волатильности, роботике.

Численный пример: геометрическое броуновское движение

Задача: Акция: S₀=100, μ=0.10, σ=0.20. Найти E[S₁] и P(S₁>120) через год.

Шаг 1: СДУ Ито: dS=μS dt+σS dW. Точное решение: S_t=S₀·exp((μ−σ²/2)t+σW_t).

Шаг 2: E[S₁]=S₀·e^{μ}=100·e^{0.10}=100·1.1052≈110.52. (Ожидаемая стоимость растёт со ставкой μ.)

Шаг 3: ln(S₁/100)~N((0.10−0.02)·1, 0.04·1)=N(0.08, 0.04). σ_{log}=0.20.

Шаг 4: P(S₁>120)=P(ln(S₁/100)>ln(1.2))=P(Z>(0.1823−0.08)/0.20)=P(Z>0.512)≈1−0.696=0.304. При σ=0 (детерминированный рост) P=P(100·e^{0.10}>120)=P(110.5>120)=0. Волатильность повышает вероятность большого выигрыша.