Лемма Ито и стохастические дифференциальные уравнения

Лемма Ито — стохастический аналог цепного правила дифференцирования. Из-за ненулевой квадратичной вариации броуновского движения появляется дополнительный «поправочный» член второго порядка.

Интеграл Ито

Интеграл ∫₀^T f_t dW_t для адаптированных процессов fₜ. Нельзя определить поточечно (W_t нигде не дифференцируем). Определяется как L²-предел ступенчатых процессов.

Свойства: Мартингал: E[∫₀^T f dW] = 0. Изометрия Ито: E[(∫₀^T f dW)²] = E[∫₀^T f² dt].

Лемма Ито

Пусть dX = b dt + σ dW, f ∈ C²(ℝ). Тогда: df(X_t) = f'(X_t) dX_t + (1/2)f''(X_t) d[X,X]_t = [f'(X_t)b + (1/2)f''(X_t)σ²] dt + f'(X_t)σ dW_t.

Ключевой момент: Дополнительный член (1/2)f''σ² dt — «квадратичная поправка». Это отличает стохастическое исчисление от детерминированного.

Многомерная лемма Ито: При dXᵢ = bᵢ dt + Σⱼ σᵢⱼ dWⱼ: df = Σᵢ ∂f/∂xᵢ dXᵢ + (1/2)Σᵢ,ⱼ ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ dXᵢ dXⱼ. Правило: dt·dt = 0, dW·dt = 0, dWᵢ dWⱼ = ρᵢⱼ dt.

СДУ и геометрическое броуновское движение

СДУ: dX_t = b(X_t, t)dt + σ(X_t, t)dW_t. Решение — адаптированный непрерывный процесс.

Геометрическое броуновское движение (GBM): dS = μS dt + σS dW. Решение: S_t = S₀ exp((μ-σ²/2)t + σW_t). Модель Black-Scholes для цен акций. ln(S_t/S₀) ~ N((μ-σ²/2)t, σ²t).

Задание: (а) Применить лемму Ито к f(W_t) = W_t². Получите: d(W_t²) = 2W_t dW_t + dt. Откуда E[W_t²] = t. (б) Для GBM: найдите E[S_t] и Var[S_t]. Почему ln S нормально, но S — логнормально? (в) Процесс Ornstein-Uhlenbeck: dX = -θX dt + σ dW. Найдите решение через лемму Ито для f(X_t, t) = e^{θt}X_t.

Стохастические дифференциальные уравнения

СДУ: dX_t = b(X_t, t)dt + σ(X_t, t)dW_t. Условия существования единственного решения (Липшиц по X, линейный рост): |b(x,t)| + |σ(x,t)| ≤ C(1+|x|). Слабое vs. сильное решение: сильное существует при условии Липшица; слабое — более широко.

Примеры СДУ в финансах: CIR-модель для ставок: dr = κ(θ−r)dt + σ√r dW. Heston: dV = κ(θ−V)dt + σ√V dW_V. Сложность: нелинейность, необходимость в позитивности процесса. Дискретизация Эйлера-Марьяма: X_{n+1} = X_n + b(X_n)Δt + σ(X_n)ΔW_n, порядок сильной сходимости 1/2.

Теорема Гирсанова и нейтральная к риску мера

Лемма Новикова: Если E[exp(1/2 ∫₀ᵀ θ_s²ds)] < ∞, то процесс dQ/dP = exp(-∫θdW − 1/2∫θ²dt) — мартингал и задаёт новую меру Q. Под Q: Ŵ_t = W_t + ∫₀ᵗ θ_s ds — броуновское движение.

Ценообразование опционов: Изменяем меру так, что e^{-rt}S_t — Q-мартингал (нейтральная к риску мера). Тогда цена опциона = e^{-rT}·E^Q[payoff]. Формула Блэка-Шоулза — следствие теоремы Гирсанова для GBM.

Частичное дифференциальное уравнение Блэка-Шоулза

Из репликирующего портфеля: ∂V/∂t + 1/2σ²S²∂²V/∂S² + rS∂V/∂S − rV = 0. Граничные условия: V(S,T) = (S−K)⁺ для колла. Связь с уравнением теплопроводности: замена переменных S = Ke^x, t = T−τ/r, v = Ve^{αx+βτ} → стандартная теплопроводность.

Греки: чувствительность опционов

Delta (Δ): ∂V/∂S = N(d₁) для колла. Доля актива в репликирующем портфеле. Gamma (Γ): ∂²V/∂S² = N'(d₁)/(Sσ√T). Выпуклость цены — прибыль от волатильности. Theta (Θ): ∂V/∂t — временной распад. Vega (ν): ∂V/∂σ = S·N'(d₁)·√T. Чувствительность к волатильности. Для Delta-нейтральной позиции: Γ·σ²S²/2 + Θ = 0 (P&L-нейтральность).

Имплицированная волатильность и улыбка волатильности

Имплицированная волатильность (IV): σ_impl = BS⁻¹(C_market) — волатильность, при которой BS-цена = рыночная. Улыбка волатильности: IV зависит от K и T — нарушение предположения о постоянстве σ. Причины: тяжёлые хвосты реальных доходностей, риск-аверсия инвесторов. Модели с локальной волатильностью (Dupire): σ = σ(S,t) воспроизводит улыбку. Стохастическая волатильность (Heston): dV = κ(θ−V)dt + ξ√V dW_V, corr(W_S, W_V) = ρ. Полуаналитическая формула через хар. функции.

Процентные ставки и модели кривой доходности

Модель Вазичека: dr = κ(θ−r)dt + σdW. Явное решение: r_t = θ + (r₀−θ)e^{−κt} + σ∫e^{−κ(t−s)}dW_s. Нормальное распределение → допускает отрицательные ставки. CIR-модель: dr = κ(θ−r)dt + σ√r dW. Квадратный корень → ставка ≥ 0 при 2κθ > σ² (условие Фелера). Нулевые купонные облигации: P(r,T) = A(T)e^{−B(T)r} — аффинная структура.

Мера нейтральная к риску и фундаментальные теоремы ценообразования

FTAP-1 (First Fundamental Theorem): Рынок без арбитража ↔ существует эквивалентная мартингальная мера Q. FTAP-2: Рынок полный ↔ мера Q единственна. Неполный рынок: диапазон допустимых цен (суперхеджирование). Теорема Карацаса-Шреве: в полном рынке любая допустимая страховая выплата может быть реплицирована. Практика: CDS (Credit Default Swap), структурированные продукты — оцениваются через риск-нейтральную меру.

Численный пример: лемма Ито для логарифма цены

Задача: S_t удовлетворяет dS=μS dt+σS dW. Применить лемму Ито к f(S)=ln(S). Числа: μ=0.12, σ=0.25, dt=1/252.

Шаг 1: Лемма Ито: df=(∂f/∂t+μS·∂f/∂S+σ²S²/2·∂²f/∂S²)dt+σS·∂f/∂S·dW. Для f=ln(S): ∂f/∂S=1/S, ∂²f/∂S²=−1/S², ∂f/∂t=0.

Шаг 2: d(ln S)=(μS·(1/S)+σ²S²/2·(−1/S²))dt+σS·(1/S)dW=(μ−σ²/2)dt+σdW.

Шаг 3: Числа: дрейф=(0.12−0.03125)/252=0.08875/252≈0.000352 за день. Волатильность=0.25/√252≈0.01575 за день. Дневной логарифмический доход: X~N(0.000352, 0.01575²).

Шаг 4: Без поправки Ито (наивно): ожидаемый ln-доход=μ·dt=0.000476. Правильно: (μ−σ²/2)·dt=0.000352. Разница σ²/2=0.03125 в год — принципиально важна: без поправки модель завышала бы логарифмическую доходность. Это основа вывода формулы Блэка-Шоулза.