Стохастические методы в финансах

Математическая финансовая теория использует стохастическое исчисление для ценообразования деривативов, управления рисками и оптимального инвестирования. Теорема Гирсанова и формула Блэка-Шоулза — центральные результаты.

Теорема Гирсанова и нейтральная к риску мера

Проблема: В реальном мире акция растёт со ставкой μ > r (безрисковая). Для ценообразования нужна «нейтральная к риску» мера Q.

Теорема Гирсанова: При замене меры с P на Q через dQ/dP = e^{-θW_T - θ²T/2}: W̃_t = W_t + θt — Q-броуновское движение. Для GBM с μ: dS = μS dt + σS dW → dS = rS dt + σS dW̃ (при θ=(μ-r)/σ).

Ценообразование: V₀(F) = e^{-rT} E^Q[F_T] — цена деривата с выплатой F_T. Это следует из отсутствия арбитража: дисконтированная цена — Q-мартингал.

Формула Блэка-Шоулза

Европейский колл: C₀ = E^Q[e^{-rT} max(S_T - K, 0)]. При S_T ~ LN: C₀ = S₀ N(d₁) - Ke^{-rT} N(d₂). d₁ = (ln(S₀/K)+(r+σ²/2)T)/(σ√T), d₂ = d₁ - σ√T.

Динамическое хеджирование: Δ = ∂C/∂S = N(d₁). Непрерывное ребалансирование Δ-доли в акции + безрисковый актив → точная репликация.

Стохастическая оптимизация (Мертон)

Задача: Инвестор максимизирует E[u(W_T)]. Динамика богатства: dW = (r + π(μ-r))W dt + πWσ dW. π — доля в акции.

Решение (CARA u = -e^{-γW}): Оптимальная π* = (μ-r)/(γσ²W) — постоянная доля активов в акции. «Правило Мертона».

Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана: -V_t + r W V_W - (μ-r)²/(2σ²) (V_W)²/V_{WW} = 0. Нелинейное PDE для функции ценности V(W,t).

Задание: (а) Для формулы BS с S₀=100, K=100, T=1, r=5%, σ=20%: вычислите C₀, Δ, Vega (∂C/∂σ). (б) При σ выросло до 25%: новая цена? Объясните через Vega. (в) Портфель Мертона: γ=2, μ=10%, r=5%, σ=20%. Найдите π*, E[W_T]/W₀ при T=5.

Греки опционов: полная таблица

Все частные производные цены опциона — «греки». Дельта Δ = ∂C/∂S = Φ(d₁). Гамма Γ = ∂²C/∂S² = φ(d₁)/(Sσ√T): скорость изменения дельты. Тета Θ = ∂C/∂t = −Sφ(d₁)σ/(2√T) − rKe^{-rT}Φ(d₂): временной распад. Вега ν = ∂C/∂σ = Sφ(d₁)√T: чувствительность к волатильности. Ро ρ = ∂C/∂r = KTe^{-rT}Φ(d₂).

Соотношение гамма-тета: для портфеля, реплицирующего колл: Θ + 1/2σ²S²Γ + rSΔ = rC. Высокая гамма компенсируется высоким временным распадом тета.

Подразумеваемая волатильность (IV) и улыбка волатильности

IV — значение σ, при котором формула BS даёт рыночную цену. IV ≠ реализованная волатильность. Улыбка волатильности: IV зависит от страйка K — нарушение предположений BS. В реальности: IV выше для OTM опционов (хвостовой риск). Поверхность волатильности: IV(K,T) — зависит и от T (срочная структура волатильности).

Модели за BS: стохастическая волатильность (Heston), локальная волатильность (Дупир), модель скачков (Мертона). Каждая calibrates к рыночной поверхности IV.

Портфель Мертона и задача максимизации утилиты

В непрерывном времени: инвестор максимизирует E[∫₀ᵀ e^{-ρt}U(c_t)dt + B(W_T)]. Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана (HJB): −∂V/∂t = max_π,c {U(c) + ∂V/∂W(πσ(μ−r)+r)W − c + 1/2(πσW)²∂²V/∂W²}. Для степенной утилиты U(W) = W^{1−γ}/(1−γ): оптимальная доля π* = (μ−r)/(γσ²) — постоянная (мерилл-эффект). Потребление c* = ρ/γ·W — пропорционально богатству.

Стохастическое управление и принцип динамического программирования

Принцип Беллмана: V(x,t) = max_u E[∫_t^T r(X_s,u_s)ds + g(X_T)|X_t=x]. Уравнение HJB: 0 = ∂V/∂t + max_u {r(x,u) + L^u V}, где L^u — генератор. Для линейно-квадратичного управления (LQR): V = xᵀP(t)x + q(t), P удовлетворяет матричному уравнению Риккати.

Задача Портфолио Марковица в непрерывном времени

Задача Мертона (1969): Максимизировать E[U(W_T)] при динамическом управлении. Для логарифмической утилиты U(W)=ln(W): π* = (μ−r)/σ² (безрисковый актив r, рисковый с дрейфом μ, волатильностью σ). Это «Kelly criterion» в непрерывном времени. Стратегия «equal weight» близка к Kelly при неизвестных параметрах.

Теория экстремальных значений в финансах

Распределение обобщённых экстремальных значений (GEV): максимум n i.i.d. переменных после нормировки → Гумбель, Вейбулл, Фреше. Для тяжёлых хвостов (Парето, t-распределение): предел — Фреше. Пороговые модели (POT): превышения над высоким порогом u ~ GPD (обобщённое распределение Парето). Параметр формы ξ > 0 — тяжёлый хвост. Применяется для оценки экстремальных рисков: 100-летние убытки, флудинг, кредитные потери.

Кредитный риск и структурные модели

Модель Мертона (1974): активы компании A_t ~ GBM. Дефолт наступает при A_T < D (долговой порог). Equity: E = Call(A_T, D). Вероятность дефолта: P(A_T < D) = N(−d₂), где d₂ определяется как в B-S. Distance-to-Default = (ln(A/D) + (μ−σ²/2)T)/(σ√T). KMV-модель (Moody's): расширение Мертона с оценкой рыночной стоимости активов через итерационный алгоритм. Ограничение: активы ненаблюдаемы, σ_A оценивается итерационно через σ_E.

Численный пример: оценка опциона по Блэку-Шоулзу

Задача: Европейский колл-опцион: S₀=100, K=100, r=0.05, σ=0.20, T=1 год.

Шаг 1: d₁ = [ln(S₀/K)+(r+σ²/2)T]/(σ√T) = [ln(1)+(0.05+0.02)·1]/0.20 = 0.07/0.20 = 0.350.

Шаг 2: d₂ = d₁−σ√T = 0.350−0.20 = 0.150.

Шаг 3: N(0.350)≈0.6368, N(0.150)≈0.5596. Цена колла: C=100·0.6368−100·e^{−0.05}·0.5596=63.68−100·0.9512·0.5596=63.68−53.22≈10.46 руб.

Шаг 4: Греки: Δ=N(d₁)=0.637 (изменение C при росте S на 1 руб.); Vega=S₀√T·φ(d₁)=100·1·0.378≈37.8 (изменение C при росте σ на 1). Модель Мертона: Credit Spread = −(1/T)·ln(N(d₂)+D/A·N(−d₁)) ≈ 0.14% при A/D=2.