Природа риска и классификация

Любая экономическая деятельность сопряжена с неопределённостью: пожар может уничтожить склад, заёмщик может не вернуть кредит, цена нефти может рухнуть, а пандемия — парализовать целые отрасли. Актуарная наука превращает «страхи» в числа: формализует риск, количественно оценивает его и предлагает инструменты управления. Без этого аппарата невозможны были бы современные страховые компании, пенсионные фонды, банки и регуляторы — словом, вся финансовая инфраструктура XXI века.

Определение и виды риска

Риск — возможность наступления нежелательного события с некоторой вероятностью, влекущего финансовые потери. Формально: случайная величина X, описывающая убыток (или доходность с отрицательным знаком), плюс вероятностная мера на пространстве элементарных исходов.

Чистый риск vs. спекулятивный.

Чистый риск: только возможность убытка (пожар, болезнь, авария). Идеальная сфера страхования.
Спекулятивный риск: возможность и убытка, и прибыли (инвестиции, валютный курс). Управляется хеджированием, диверсификацией.

Классификация по природе:

Страховой риск (insurable): случайный, измеримый, есть большое число однородных единиц, убыток некатастрофический.
Финансовый риск: рыночный (цены акций, ставки), кредитный (дефолт), ликвидности (невозможность быстро продать).
Операционный риск: ошибки процессов, систем, персонала, внешних событий.
Системный риск: коррелированные потрясения всей системы (кризис 2008, COVID-2020).

Критерии страхуемости (insurability): случайность (не зависит от воли страхователя), определённость (можно измерить убыток), независимость (между страхователями), большое число однородных рисков (для закона больших чисел), приемлемая премия. Не все риски страхуемы: ядерная катастрофа, война, репутационный риск, риск изменения вкусов потребителей часто исключаются.

Частота и тяжесть убытков

Композитная модель Compound: Суммарный годовой убыток S = X_1 + X_2 + ... + X_N, где N — случайное число убытков (частота, frequency), X_i — размер i-го убытка (тяжесть, severity). Стандартное предположение — независимость N и {X_i}, и независимость X_i между собой.

Распределения частоты N:

Пуассоновское: P(N = k) = e^{−λ}·λ^k/k!, E[N] = λ, Var[N] = λ. Идеально для редких независимых событий (пожары, аварии).
Биномиальное: фиксированное n рисков, каждый дефолтит с вероятностью p. E[N] = n·p, Var[N] = n·p·(1−p).
Отрицательное биномиальное: гетерогенный портфель — Var > E (overdispersion).

Распределения тяжести X:

Экспоненциальное: f(x) = λ·e^{−λ·x}, E[X] = 1/λ. Лёгкий хвост, мало катастроф.
Логнормальное: ln X ~ N(μ, σ²). Умеренный хвост, классика для страховых убытков.
Парето: P(X > x) = (θ/(θ+x))^α. Тяжёлый хвост — катастрофы возможны. Используется для пожаров, наводнений, кибер-атак.

Формулы для S: E[S] = E[N]·E[X], Var[S] = E[N]·Var[X] + Var[N]·E[X]² (формула Wald-style).

Закон больших чисел в страховании

Это математическая основа всего страхового бизнеса. n страхователей с независимыми убытками X_i. Средний убыток X̄_n = (1/n)·Σ X_i. По ЗБЧ: X̄_n → E[X] почти наверное при n → ∞. Дисперсия среднего: Var[X̄_n] = Var[X]/n → 0.

Загрузка безопасности (safety loading). Страховая премия P строится так, чтобы покрыть ожидаемый убыток плюс «надбавку» на риск:

Принцип ожидаемого значения: P = (1 + θ)·E[X], θ ≈ 0.1–0.5.
Принцип стандартного отклонения: P = E[X] + λ·σ(X).
Принцип дисперсии: P = E[X] + α·Var[X].
Эспоненциальный (Esscher): P = (1/α)·ln E[e^{α·X}] — связан с теорией полезности.

Численный пример: автостраховой портфель

1000 страхователей. Частота убытков N_i ~ Poisson(λ = 0.05) в год. Тяжесть X ~ Lognormal(μ = 8, σ = 1) (медиана e^8 ≈ 2981 руб., средняя ≈ 4915 руб.).

E[S_i] = 0.05·4915 ≈ 246 руб. Var[X] = (e^{σ²} − 1)·e^{2μ+σ²} = (e − 1)·e^{17} ≈ 4.18·10⁷. E[S_i²] = E[N]·E[X²] + (E[N]·E[X])² (для Compound Poisson: Var[S_i] = λ·E[X²]). Var[S_i] = 0.05·E[X²] = 0.05·(Var[X] + E[X]²) ≈ 0.05·(4.18·10⁷ + 2.42·10⁷) = 3.30·10⁶. σ(S_i) ≈ 1817 руб.

Для 1000 страхователей суммарный убыток S = Σ S_i: E[S] = 246 000, σ(S) = √1000·1817 ≈ 57 460. По нормальному приближению P(S > 1.1·E[S]) = P(Z > (24600/57460)) = P(Z > 0.428) ≈ 33.4%. Премия P = E[S] + 1.96·σ(S) ≈ 246 000 + 112 600 = 358 600 руб., ~358 руб. на полис, обеспечивает 97.5% уровень безопасности.

Реальные применения

Автострахование (КАСКО, ОСАГО). Россия: рынок 250+ млрд руб./год. Тарифные коэффициенты строятся на основе compound-моделей с дискриминацией по возрасту, опыту, региону, мощности.
Здравоохранение. Bismarck-системы (Германия, Япония) и market-based (США) используют actuarial-модели для расчёта премий с учётом возраста, образа жизни.
Корпоративное страхование. Полисы D&O (директоров), кибер-страхование, страхование business interruption — экзотические модели с тяжёлыми хвостами.
Перестрахование (Munich Re, Swiss Re). Глобальные перестраховщики управляют портфелями катастрофических рисков на десятки миллиардов долларов — наш аппарат частоты-тяжести с поправками на корреляции.

Задание. Для портфеля из 1000 автостраховок: частота убытков N ~ Poisson(λ = 0.05), тяжесть X ~ Lognormal(μ = 8, σ = 1). (а) Аналитически вычислите E[S], Var[S]. (б) Приближённо найдите P(S > 1.1·E[S]) методом нормального приближения. (в) Сколько страхователей n нужно для σ(X̄_n) < 100 руб.? (г) Симуляцией Монте-Карло (10000 итераций) найдите эмпирическое распределение S — насколько оно близко к нормальному (тест Шапиро-Уилка)?