Меры риска: VaR, CVaR и когерентные меры

Сказать «портфель рискованный» недостаточно для регулятора, акционера или риск-менеджера. Нужны числа: «с вероятностью 99% дневной убыток не превысит X», «капитал должен быть не менее Y». Меры риска — формальные числовые характеристики «опасности» распределения убытков. От их выбора зависит, сколько капитала держит банк, какие инвестиции допустимы и как ценится страховой полис. Базель III (банки), Solvency II (страхование) и ICAAP (внутренние модели) предписывают конкретные меры — поэтому понимание VaR и CVaR обязательно для любого финансового профессионала.

Value at Risk (VaR)

Определение: VaR_α(X) = inf{x: P(X ≤ x) ≥ α} — α-квантиль распределения убытков X.

В терминах потерь: VaR_α — наименьший убыток, который превышается с вероятностью не более 1 − α. Например, VaR_{0.99} = 1 млн руб. означает: «с вероятностью 99% убыток ≤ 1 млн». В среднем 1 раз из 100 дней он будет превышен.

Расшифровка символов. α — доверительный уровень (обычно 0.95, 0.99, 0.995). X — случайный убыток (положительные значения = потери).

Способы вычисления.

1. Параметрический (variance-covariance). При X ~ N(μ, σ²): VaR_α = μ + σ·Φ^{−1}(α), где Φ^{−1} — обратная функция стандартного нормального распределения. Φ^{−1}(0.95) ≈ 1.645, Φ^{−1}(0.99) ≈ 2.326.

2. Исторический (historical simulation). Имеем 1000 исторических ежедневных доходностей. Сортируем убытки по убыванию. VaR_{0.99} — 10-й по величине убыток (1% от 1000).

3. Монте-Карло. Симулируем M = 10000 сценариев совместного движения факторов риска (ставки, курсы, акции), переоцениваем портфель в каждом, берём (1 − α)-квантиль распределения убытков.

Численный пример

Портфель акций стоимостью 100 млн руб., дневная волатильность σ = 1.5%.

VaR_{0.95} = 1.645·1.5% × 100 млн = 2.47 млн руб. VaR_{0.99} = 2.326·1.5% × 100 млн = 3.49 млн руб.

Если использовать историческое моделирование с 250 днями: 250·0.01 = 2.5, поэтому берём среднее между 2-м и 3-м худшими убытками. Может оказаться выше параметрического — реальные данные имеют толстые хвосты.

Недостатки VaR

• Не учитывает «масштаб бедствия» за порогом. Два портфеля с одинаковым VaR могут иметь радикально разные убытки в худшие 1%: один теряет 5 млн, другой — 50 млн.
• Не субаддитивен. Известны примеры X, Y: VaR(X + Y) > VaR(X) + VaR(Y). Нарушает принцип «диверсификация снижает риск» — нежелательно для риск-менеджмента.
• Игнорирует корреляционную структуру хвостов. В кризисах корреляции между активами растут — VaR это не улавливает.

Conditional Value at Risk (CVaR / Expected Shortfall)

Определение: CVaR_α(X) = E[X | X > VaR_α(X)] — ожидаемый убыток при условии, что он превышает VaR_α.

Также называется Expected Shortfall (ES), Tail VaR (TVaR), Average VaR.

Свойства. CVaR_α(X) ≥ VaR_α(X) (всегда). CVaR учитывает «среднюю тяжесть» хвостовых событий. CVaR субаддитивен: CVaR(X + Y) ≤ CVaR(X) + CVaR(Y). Когерентен (см. ниже).

Вычисление для нормального: CVaR_α = μ + σ·φ(Φ^{−1}(α))/(1 − α), где φ — плотность стандартного нормального. Для α = 0.99: множитель ≈ 2.665 (vs. 2.326 для VaR).

В нашем примере (100 млн, σ = 1.5%): CVaR_{0.99} = 1.5%·2.665·100 = 3.997 млн (на ~14% выше VaR_{0.99}).

Когерентные меры риска (Artzner et al., 1999)

Аксиомы когерентности. Мера риска ρ(X) когерентна, если:

1. Монотонность: X ≤ Y a.s. → ρ(X) ≤ ρ(Y). Меньший убыток — меньший риск.
2. Субаддитивность: ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y). Диверсификация снижает риск.
3. Положительная однородность: ρ(λ·X) = λ·ρ(X) для λ > 0. Удвоенная позиция — удвоенный риск.
4. Трансляционная инвариантность: ρ(X + c) = ρ(X) + c. Добавление наличных снижает риск ровно на сумму наличных.

VaR не когерентен — нарушает субаддитивность. CVaR когерентен.

Регуляторные стандарты.

• Solvency II (Европа, страхование): SCR = VaR_{0.995} на 1 год для каждого риска.
• Basel III (банки, рыночный риск): переход с VaR на ES (CVaR_{0.975}) в FRTB (с 2023 г.).
• IORP II (пенсии): комбинация VaR, ES и стресс-тестов.

Спектральные меры риска

Обобщение CVaR: ρ(X) = ∫_0^1 VaR_u(X)·φ(u) du, где φ — весовая функция (рисковая премия). При φ(u) = 1/(1−α) на u ∈ [α, 1] — это CVaR. Спектральные меры всегда когерентны, если φ убывает.

Distortion measures (Wang transform). ρ(X) = ∫ x·dT(F(x)), где T — искажающая функция. Стандартная: T(p) = Φ(Φ^{−1}(p) − λ). Используется для ценообразования экзотических страховых рисков.

Численный пример: субаддитивность VaR vs. CVaR

X = Y — независимые, P(X = 0) = 0.96, P(X = 100) = 0.04 (то же для Y). VaR_{0.95}(X) = 0 (96-й перцентиль = 0). VaR_{0.95}(Y) = 0. VaR_{0.95}(X) + VaR_{0.95}(Y) = 0.

Но X + Y: P(X+Y = 0) = 0.96² = 0.9216. P(X+Y = 100) = 2·0.96·0.04 = 0.0768. P(X+Y = 200) = 0.04² = 0.0016. P(X+Y > 0) = 0.0784 > 0.05 → VaR_{0.95}(X+Y) = 100.

Получили: VaR(X+Y) = 100 > 0 + 0 = VaR(X) + VaR(Y). Нарушение субаддитивности!

CVaR_{0.95}(X) = E[X | X > 0] = 100. CVaR(X+Y) = (0.0768·100 + 0.0016·200)/0.0784 ≈ 102. Здесь 102 ≤ 100 + 100 = 200, субаддитивность выполнена.

Реальные применения

• Trading-floor (банки). Дневной VaR-лимит на каждый desk: 5–10 млн USD типично для большого банка. Превышение → escalation, разбор причин.
• Страховые компании (Solvency II). SCR = VaR_{0.995} на горизонт 1 год. Crédit Agricole Assurances: SCR ≈ €15 млрд, capital ratio 240%.
• Пенсионные фонды. UK USS, Dutch ABP оценивают liability-VaR при пессимистичных сценариях ставок и долгожительства.
• Криптовалютные биржи. Risk engine для маржинальной торговли использует VaR в реальном времени для расчёта margin requirements.

Задание. Для двух убытков X ~ N(0, 1), Y ~ N(0, 1), Cov(X, Y) = ρ·σ_X·σ_Y. (а) При ρ = −0.5 вычислите VaR_{0.95} и CVaR_{0.95} для X, Y и X+Y (используйте, что X+Y ~ N(0, 1+1+2·(−0.5)) = N(0, 1)). (б) Проверьте субаддитивность CVaR. (в) Постройте дискретный пример (как выше), где VaR явно нарушает субаддитивность. (г) Симуляцией (10000 точек) подтвердите CVaR_{0.95}(X) и CVaR_{0.95}(X+Y) при ρ = 0.7.