Перестрахование и управление рисковым портфелем

Страховщик сам не застрахован: ураган, эпидемия или массовое банкротство могут уничтожить капитал крупнейшей компании. Решение — перестрахование, «страхование страховщика». Часть рисков передаётся перестраховщику (Munich Re, Swiss Re, Hannover Re), который специализируется на принятии катастрофических убытков. Это ключевой инструмент управления рисковым портфелем — без него современная страховая отрасль немыслима. Глобальный рынок перестрахования: ~$700 млрд премий в 2023 году.

Виды перестрахования

1. Пропорциональное (Quota Share, QS). Перестраховщик берёт фиксированную долю q каждого убытка и получает долю q страховой премии. Цедент (direct insurer) удерживает (1 − q)·X.

Пример: q = 30%. Убыток 1 млн → перестраховщик платит 300 тыс., цедент — 700 тыс. Премии распределяются так же.

Преимущества: простота, стабильность отношений. Недостаток: цедент платит и за «мелкие» убытки, которые мог бы себе позволить.

2. Эксцедент убытка (Excess of Loss, XL). Перестраховщик оплачивает только убытки сверх удержания (retention) d, до лимита u:

• Платёж перестраховщика: min(max(X − d, 0), u − d).
• Удержание цедента: min(X, d) + max(X − u, 0).

Пример: d = 5 млн, u = 50 млн. Убыток 30 млн → перестраховщик 25 млн, цедент 5 млн. Убыток 70 млн → перестраховщик 45 млн, цедент 5 + 20 = 25 млн.

Преимущество: защита от катастрофических убытков. Недостаток: дороже на единицу страховой суммы (хвостовая премия).

3. Stop Loss. Перестраховщик оплачивает суммарные убытки портфеля S сверх уровня L: платёж = max(S − L, 0).

Защищает от кумуляции: эпидемии, ураганы, массовые банкротства, COVID-2020. Использовался активно в страховании урожая, путешествий, мероприятий.

4. Catastrophe XL (CatXL). Специальный XL для природных катастроф. Активируется при «occurrence event» (один ураган, землетрясение). Лимиты в сотни миллионов или миллиарды USD.

Оптимальное перестрахование

Задача: выбрать структуру перестрахования R(X) ∈ [0, X] (часть убытка, передаваемая перестраховщику), минимизирующую выбранную меру риска чистых убытков цедента (X − R(X) + π(R), где π — перестраховочная премия) при ограничении на бюджет.

Теорема Arrow (1963). При нейтральном к риску перестраховщике (π(R) = (1 + θ)·E[R]) и risk-averse цеденте (минимизация дисперсии или CVaR), оптимальной является структура stop-loss: R(X) = max(X − d, 0). Геометрически — «срезаем хвост» распределения убытков.

Cai et al. (2008): для CVaR-оптимизации тоже оптимален stop-loss с конкретным d*. Доказательство через вариационное исчисление по форме R.

Cat Bonds (катастрофные облигации)

Альтернативный механизм передачи риска. Цедент эмитирует облигацию. Инвесторы получают купон (LIBOR/SOFR + спред 5–15%). Если в течение срока бумаги происходит триггерное событие (ураган силой ≥ 4, землетрясение M ≥ 7, парметрический индекс) — основная сумма частично или полностью теряется и идёт на покрытие убытков цедента.

Триггеры:

• Indemnity: фактический убыток страховщика.
• Industry index: общеотраслевой убыток (PCS index).
• Parametric: значение природного параметра (магнитуда, скорость ветра в точке).
• Modeled loss: убыток по предопределённой модели.

Рынок Cat Bonds: $40 млрд outstanding в 2023. Эмитенты: USAA, Allstate, Florida Citizens, Caltrans. Использовались после Katrina (2005), Sandy (2012), Maria (2017), мексиканского землетрясения (2017), COVID (Pandemic Bond Всемирного банка).

Численный пример: эффект XL-перестрахования

Портфель с распределением суммарного убытка S ~ Lognormal(μ = 14, σ = 0.8) (среднее ≈ 1.65 млн руб., медиана e^14 ≈ 1.20 млн).

E[S] = e^{14 + 0.32} = 1.65 млн. Var[S] = (e^{0.64} − 1)·e^{28 + 0.64} = 0.896·2.43·10^12 ≈ 2.18·10^12. σ(S) ≈ 1.48 млн. VaR_{0.99}(S) (lognormal): exp(μ + σ·Φ^{−1}(0.99)) = exp(14 + 0.8·2.326) ≈ 7.61 млн. CVaR_{0.99}(S) ≈ 9.52 млн.

XL-перестрахование с d = 2 млн, u = 5 млн (премия π = 0.4 млн). Чистый убыток цедента: Y = min(S, 2) + max(S − 5, 0) + π.

Симуляция (Python, 100 000 итераций):

• E[Y] = E[min(S, 2)] + E[max(S − 5, 0)] + 0.4 ≈ 1.31 + 0.27 + 0.4 = 1.98 млн (выше E[S] на 0.33 млн — стоимость перестрахования).
• σ(Y) ≈ 0.85 млн (резко ниже σ(S) = 1.48 млн).
• VaR_{0.99}(Y) ≈ 2 + (max(S − 5, 0))_{0.99} ≈ 4.6 млн (vs. 7.61 млн без перестрахования).
• CVaR_{0.99}(Y) ≈ 5.5 млн (vs. 9.52 млн).

Вывод: перестрахование увеличивает ожидаемые издержки на 20%, но снижает CVaR_{0.99} на 42%. Компромисс между прибылью и устойчивостью.

Реальные применения

• Munich Re, Swiss Re, Hannover Re. Топ-3 перестраховщика мира, премии $50–60 млрд каждый. Перестраховывают риски от природных катастроф, авиации, морского страхования, кибер.
• Lloyd's of London. Уникальный синдикатный рынок: 70+ синдикатов, специализирующихся на сложных рисках (искусство, морские пираты, отмена концертов). Premium ≈ £45 млрд/год.
• Florida Hurricane Catastrophe Fund. Государственный «перестраховщик» Флориды для ураганов. После Andrew (1992) и Wilma (2005) реструктурирован, использует Cat Bonds.
• Pandemic Bond Всемирного банка (2017). $320 млн на покрытие пандемий в развивающихся странах. Сработал в марте 2020 — выплата $195 млн (но многих критиковала за слишком жёсткие триггеры).

Задание. Страховщик с портфелем рисков, S ~ Lognormal(μ = 14, σ = 0.8). XL-перестрахование: приоритет d = 2 млн, лимит u = 5 млн, премия π = 0.4 млн. (а) Симуляцией (100 000 итераций) вычислите E[убыток цедента], σ, VaR_{0.99}, CVaR_{0.99} с перестрахованием и без. (б) Постройте гистограммы обоих распределений на одном графике. (в) Найдите оптимальный приоритет d* для минимизации CVaR_{0.99} при бюджете π ≤ 0.5 млн (полагая π линейно зависит от вероятности срабатывания). (г) Сравните XL и stop-loss с тем же бюджетом — что эффективнее?