Моделирование кредитного риска

Кредитный риск — риск того, что заёмщик не выполнит обязательства — основной риск банков (60–70% RWA для коммерческих банков). Его управление регулируется Базельскими соглашениями. Математические модели кредитного риска критически важны для ценообразования корпоративных облигаций, CDS, расчёта резервов под потери (IFRS 9, CECL). Существуют два больших семейства: структурные модели (на основе стоимости активов) и reduced-form (на основе интенсивности дефолта). Их сравнение и комбинирование — основной вопрос современной кредитной аналитики.

Структурные модели (Merton, 1974)

Идея Мертона. Активы компании V_t моделируются как геометрическое броуновское движение: dV = μ·V·dt + σ·V·dW.

Долг компании D погашается в момент T. Дефолт наступает, если V_T < D (активов не хватает на долг).

Опционный подход. Equity (стоимость акций): E_T = max(V_T − D, 0).

Это колл-опцион на активы со страйком D! Применяя формулу Блэка-Шоулза: E_0 = V_0·N(d_1) − D·e^{−r·T}·N(d_2), где d_1 = (ln(V_0/D) + (r + σ²/2)·T)/(σ·√T), d_2 = d_1 − σ·√T.

Долг (debt): D_0 = V_0 − E_0 — стоимость для облигационеров.

Вероятность дефолта (real-world): P(V_T < D) = N(−DD), где DD = (ln(V_0/D) + (μ − σ²/2)·T)/(σ·√T) — distance-to-default. Чем выше DD, тем дальше компания от дефолта.

Risk-neutral вероятность дефолта: N(−d_2) с μ → r.

Расширения Мертона

Black-Cox (1976): дефолт может произойти в любой момент при первом касании барьера (не только в T). Реалистичнее.

KMV / Moody's Credit Monitor. Коммерческая реализация Merton: V_0 и σ оцениваются из E_0 (рыночная капитализация) и σ_E (волатильность акций) методом Ньютона. DD конвертируется в Expected Default Frequency (EDF) через эмпирическую калибровку. Используется широко в индустрии.

Reduced-Form модели (Jarrow-Turnbull 1995, Duffie-Singleton 1999)

Идея. Не моделируем активы, а напрямую — интенсивность дефолта h(t) (hazard rate). Дефолт — первый момент прыжка пуассоновского процесса с интенсивностью h(t).

Survival probability: P(τ > t) = exp(−∫_0^t h(s) ds).

Ценообразование корпоративной облигации (zero-coupon, recovery R при дефолте): B(0, T) = E^Q[exp(−∫0^T r_s ds)·(1·1{τ>T} + R·1_{τ≤T})] ≈ exp(−r·T) · [(1 − R)·exp(−h·T) + R].

При постоянной h: спред над безрисковой ставкой ≈ h·(1 − R).

CDS Spread

CDS (Credit Default Swap). Страховка от дефолта: покупатель платит регулярный спред s, при дефолте получает (1 − R)·N (notional × loss given default).

No-arbitrage условие: s ≈ h·(1 − R). При расчёте CDS-спреда из рыночных котировок (bootstrapping) восстанавливается risk-neutral интенсивность дефолта.

Пример: 5-летний CDS на корпорацию торгуется по 200 б.п. = 2%. При R = 40%: h ≈ 2%/(1 − 0.4) = 3.33% годовая риск-нейтральная вероятность дефолта.

Кредитные рейтинги и матрица миграции

Рейтинговые агентства (S&P, Moody's, Fitch) присваивают рейтинги от AAA (низкий риск) до D (default). Исторические таблицы дефолтов:

AAA: P(default за 5 лет) = 0.05%.
AA: 0.20%.
A: 0.50%.
BBB: 2.5%.
BB: 12%.
B: 25%.
CCC: 50%.

Матрица миграции (rating transition matrix). P_{ij} = вероятность перехода из рейтинга i в j за год. Markov-цепь (упрощение реальности — на самом деле есть «memory effect»). Долгосрочные вероятности дефолта из P^n.

CreditMetrics (J.P. Morgan, 1997). Использует рейтинги + матрицу миграции + корреляции для расчёта VaR кредитного портфеля.

Численный пример: Merton для компании

V_0 = 100, D = 80, σ = 0.25, μ = 0.06, r = 0.03, T = 1.

DD = (ln(100/80) + (0.06 − 0.0625/2)·1)/(0.25·1) = (0.2231 + 0.0288)/0.25 = 1.008. P(default real-world) = N(−1.008) = 0.157 → 15.7% годовая. P(default risk-neutral) = N(−d_2), d_2 = (ln(100/80) + (0.03 − 0.03125)·1)/(0.25) − 0 = 0.886. P_Q = N(−0.886) = 0.188 → 18.8%.

При R = 0.4: справедливый спред 5-летней облигации: s ≈ −(1/T)·ln(1 − P_default · (1 − R)) ≈ 0.188 · 0.6 / 1 = 11.3% (грубо). Точнее через NHPP-калибровку: h ≈ 0.21 (годовая интенсивность). Спред 5-летнего ≈ h·(1−R) = 12.5%.

При σ = 0.35 (выше волатильность): DD = (0.2231 + (0.06 − 0.0613)·1)/0.35 = 0.633. P_def = N(−0.633) = 0.263 → 26.3%. Спред резко растёт. Урок: волатильность активов — главный драйвер кредитного риска.

IFRS 9 и Expected Credit Loss (ECL)

С 2018 г. банки переходят с incurred loss (IAS 39) на expected loss (IFRS 9). Резерв = вероятностно-взвешенная сумма потерь:

ECL = PD · LGD · EAD, где:

PD (Probability of Default): probabilistic over horizon (12 months или lifetime).
LGD (Loss Given Default): 1 − R, обычно 35–50% для unsecured loans.
EAD (Exposure at Default): остаток долга в момент дефолта.

Three stages: Stage 1 (12-month ECL), Stage 2 (lifetime ECL, significant increase in credit risk), Stage 3 (lifetime ECL, defaulted).

Реальные применения

Корпоративное кредитование. Сбербанк, Альфа: внутренние модели PD (logistic regression на финансовых показателях + behavioral data), LGD, EAD. RWA-расчёт по Basel IRB.
CDS-рынок. $9 трлн notional outstanding. ICE Clear Credit, LCH SwapClear как central counterparties.
Crisis 2008. AIG продал $400 млрд CDS на subprime MBS, не имея капитала покрыть дефолты — государственный bail-out $182 млрд.
Moody's Credit Monitor / KMV. Используется > 200 банками для мониторинга PD клиентов в реальном времени.
Кредитные карты, потребкредит. FICO score (US), Equifax (UK), НБКИ (Россия) — упрощённые reduced-form модели для розничного кредитования.

Задание. Компания с V_0 = 100, D = 80, σ = 0.25, μ = 0.06, r = 0.03, T = 1. (а) Вычислите distance-to-default и вероятность дефолта по Мертону (real-world и risk-neutral). (б) Если recovery rate R = 0.4, какой справедливый спред 5-летней корпоративной облигации? (в) Симуляцией Монте-Карло (10000 траекторий V_t по GBM с 100 шагами в год) вычислите P(min_{t ≤ 1} V_t < 80) — вероятность first-passage. Сравните с базовой Merton (только в момент T). (г) Чувствительность: как меняется спред при σ ∈ {0.15, 0.25, 0.35, 0.50}? Постройте график.