Кредитные деривативы и корреляции

Кредитные деривативы — финансовые инструменты, позволяющие торговать кредитным риском независимо от базовых облигаций. CDS (Credit Default Swap) и CDO (Collateralized Debt Obligation) сыграли ключевую роль в финансовом кризисе 2008 года: понимание их механики и опасностей корреляций — обязательный навык для современного риск-менеджера. Главное — не математика сама по себе, а её правильная интерпретация: модель Gaussian Copula оказалась катастрофически неадекватна в момент кризиса, и причиной было непонимание её ограничений.

Credit Default Swap (CDS)

Структура. Двусторонний контракт между покупателем защиты (protection buyer) и продавцом (protection seller).

Покупатель платит регулярный спред s (basis points в год от notional N) — обычно ежеквартально.
При наступлении кредитного события (дефолт, банкротство, реструктуризация) — продавец компенсирует (1 − R)·N (loss given default).

CDS — это страховка от кредитного риска, доступная без владения базовой облигацией (naked CDS). Это и инструмент хеджирования, и инструмент спекуляции.

Ценообразование (no-arbitrage). При постоянной h и R, в непрерывном времени: PV(premium leg) = s · ∫_0^T e^{−(r+h)·t} dt = s·(1 − e^{−(r+h)·T})/(r+h). PV(protection leg) = (1−R)·h · ∫_0^T e^{−(r+h)·t} dt.

Из равенства: s = h·(1 − R).

Bootstrapping h из CDS-кривой. Имея CDS-спреды на 1, 2, 3, 5, 7, 10 лет, последовательно восстанавливаем кусочно-постоянную h(t).

Виды кредитных деривативов

Single-name CDS. На конкретного эмитента.
CDS Index (CDX, iTraxx). На портфель из 125 эмитентов. Стандартизованные транши.
Credit-Linked Note (CLN). Облигация, выплаты по которой зависят от кредитных событий.
Total Return Swap. Обмен полной доходности облигации на LIBOR + spread.
CDO (Collateralized Debt Obligation). Структурированный продукт (см. ниже).

CDO и корреляционный риск

Структура CDO. Пул из n кредитов (займы, облигации, RMBS — Residential Mortgage-Backed Securities) разбивается на транши с разным приоритетом:

Senior tranche (e.g., 30–100% потерь): последним получает убытки, AAA-рейтинг, низкий купон.
Mezzanine tranche (e.g., 10–30%): средний приоритет, BBB-A рейтинг.
Equity tranche (e.g., 0–10%): первым получает убытки, без рейтинга, высокий купон (или residual interest).

Распределение убытков пула: убытки L переходят сначала в equity (поглощает первые 10%), затем в mezzanine, наконец в senior.

Gaussian Copula (Li, 2000)

Стандартная модель корреляции дефолтов. Каждый заёмщик i имеет «латентный» кредитный индекс:

X_i = √ρ · Z + √(1 − ρ) · ε_i, где Z, ε_i ~ N(0, 1) iid.

Z — общий рыночный фактор, ε_i — идиосинкратический. Корреляция Cor(X_i, X_j) = ρ для всех i ≠ j.

Дефолт: заёмщик i дефолтит, если X_i < Φ^{−1}(p_i), где p_i — маргинальная вероятность дефолта.

Условная вероятность дефолта при общем факторе Z: p_i(Z) = Φ((Φ^{−1}(p_i) − √ρ·Z)/√(1−ρ)).

При плохом Z (Z = −2): p_i(Z = −2) ≫ p_i. Корреляции усиливают «толстые хвосты».

Численный пример: CDO-транши

Пул 100 кредитов, p_i = 0.05 каждый (5% годовая вероятность дефолта), recovery 40%, ρ = 0.2.

Симуляция Монте-Карло (10 000 сценариев Z из N(0,1)):

Среднее число дефолтов: 5.
При Z = −1.65 (5-й перцентиль): условная p_i ≈ 0.18, среднее 18 дефолтов.
При Z = −2.33 (1-й перцентиль): p_i ≈ 0.30, ~30 дефолтов.

Распределение совокупных потерь L (как % от пула):

E[L] = 0.05·(1 − 0.4) = 3%.
VaR_{0.99}(L) ≈ 18%.
VaR_{0.999}(L) ≈ 30%.

Транши:

Equity 0–10%: средний убыток ≈ 100·E[min(L, 10%)/10%] (отношение к notional трансе) ≈ 35%. Высокий риск.
Mezzanine 10–30%: средний убыток ≈ 8% от notional. AAA для нижней половины, BBB для верхней.
Senior 30–100%: убыток ≈ 0.3% от notional. AAA с почти нулевой вероятностью списания.

Провал в кризисе 2008

Gaussian Copula применялась к MBS-пулам с исторической корреляцией ρ ≈ 0.2–0.3, оценённой по «тучным» 2003-2006 годам. В кризис 2007-2008 г. ρ → 0.7–0.9: дефолты ипотечников по всей стране стали коррелированными (национальный спад цен на жильё).

Пересчёт при ρ = 0.7: вероятность массового дефолта (>30 из 100) выросла с 0.001% до 5%. Senior транши, считавшиеся AAA, обесценились на 60–80%. Bear Stearns, Lehman, AIG — все либо обанкротились, либо были спасены государством из-за этого недооценённого хвостового риска.

Уроки.

Маргинальные распределения и корреляции — недостаточно. Нужны t-copulas (тяжёлые хвосты), wrong-way risk, stress-testing.
Параметры калибровать на стрессовых периодах, не на «спокойных».
Liquidity risk: даже при технически правильной оценке невозможно продать AAA-tranche по справедливой цене в панике.

Реальные применения

CDX/iTraxx торговля. Объём ~$5 трлн notional. Используется хедж-фондами для market-neutral стратегий, банками для хеджирования портфеля.
Bespoke tranches. Customized CDOs для конкретных институциональных клиентов. Возродились с 2017 после исчезновения post-2008.
CLO (Collateralized Loan Obligations). Аналог CDO для leveraged loans. Рынок $1+ трлн, активно используется в LBO-финансировании.
Synthetic CDOs. На основе CDS, без реальных активов. Использовались для регуляторного арбитража, ныне ограничены.

Задание. Пул из 5 кредитов с p_i = 0.02 каждый, ρ = 0.3, recovery 0%. (а) В Python (numpy.random) реализуйте Gaussian Copula: для каждого из 10 000 сценариев генерируйте (Z, ε_1, ..., ε_5), считайте число дефолтов. (б) Постройте гистограмму совокупных потерь. (в) Вычислите ожидаемые потери по траншам: equity (0–10%), mezzanine (10–30%), senior (30–100%) — какая часть notional трансы будет списана в среднем? (г) Повторите при ρ = 0.7 — как меняются убытки senior транша? (д) Бонус: используйте t-copula с 4 степенями свободы вместо нормальной — как изменятся хвостовые потери?