Как решать интегралы: пошаговые методы

Интеграл — интуитивно — это накопление. Функция $f(x)$ говорит вам, сколько чего-то происходит в каждой точке. Интеграл

${\int }_a^{b}f(x)dx$

даёт общее количество между $x=a$ и $x=b$. Если $f(x)$ — это скорость в момент времени $x$, интеграл равен общему пройденному расстоянию. Если $f(x)$ — площадь поперечного сечения тела в положении $x$, интеграл — это объём. Если $f(x)$ — функция плотности вероятности случайной величины, интеграл — это вероятность попасть в интервал $[a,b]$.

В этой статье разбирается, что такое интегрирование на самом деле, формулируется и применяется основной теоремы анализа, делающая интегрирование вычислимым, приводятся базовые правила интегрирования, метод подстановки (самый используемый метод), интегрирование по частям, тригонометрические интегралы и подстановки, разложение на простейшие дроби, несобственные интегралы, численные методы для неинтегрируемых в элементарных функциях выражений, типичные ловушки и структурированный подход к выбору подходящей техники.

Что такое интегрирование на самом деле

Две разные интуиции приводят к одной и той же операции.

Интуиция 1 — Площадь под кривой.

Нарисуйте график положительной функции $f(x)$. Интеграл ${\int }_a^{b}f(x)dx$ — это площадь области, ограниченной сверху графиком, снизу осью Ox, а по бокам вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Это геометрическая интерпретация, и так интегрирование изначально и понималось. Архимед использовал предшественник интегрирования (метод исчерпывания), чтобы вычислять площади криволинейных фигур в III веке до н. э.

Интуиция 2 — Накопление.

Если $f(t)$ описывает скорость изменения — скорость, расход воды, предельные издержки, — то ${\int }_a^{b}f(t)dt$ — это общее количество, накопившееся между $t=a$ и $t=b$.

Это физическая интерпретация, и она наиболее полезна в приложениях. Автомобиль, движущийся с постоянно меняющейся скоростью, проходит расстояние, равное интегралу от его скорости.

Сумма Римана делает обе интуиции строгими. Разделите интервал $[a,b]$ на $n$ маленьких подотрезков ширины $\Delta x=\frac{b-a}{n}$. В каждом подотрезке выберите точку $x_i^{\ast }$. Сумма

${\sum }_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x$

приближает площадь (или накопленное количество). При $n\to \infty$ (подотрезки становятся всё меньше) эта сумма стремится к точному интегралу:

${\int }_a^{b}f(x)dx={\lim }_{n\to \infty }{\sum }_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x$

Это формальное определение. На практике почти никогда не вычисляют интегралы по определению — используют методы, описанные ниже.

Основная теорема анализа

Основная теорема говорит: интегрирование и дифференцирование — взаимно обратные операции.

Строго: если $F$ — любая первообразная функции $f$ (то есть $F^{\prime }(x)=f(x)$), то

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

Это чрезвычайно важно. Это утверждение говорит, что для вычисления интеграла не нужно считать суммы Римана. Нужно лишь найти первообразную подынтегральной функции и подставить в неё концы отрезка.

Пример 1: Вычислить ${\int }_0^{2}3x^{2}dx$.

Первообразная функции $3x^2$ — это $x^3$ (можно проверить: $\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2$). Тогда:

${\int }_0^{2}3x^{2}dx=[x^3{]}_0^2=2^3-0^3=8$

Всё интегрирование сводится к нахождению первообразной. Методы ниже — это методы нахождения первообразных.

Базовые правила интегрирования

Это нужно запомнить. Это строительные блоки.

Степенное правило (для интегрирования):

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\text{при }n\ne -1$

Константа $C$ — это константа интегрирования: любая константа дифференцируется в ноль, поэтому первообразная определена только с точностью до добавления константы. (Для определённых интегралов — с пределами вида ${\int }_a^b$ — константы сокращаются при подстановке концов.)

Для $n=-1$:

$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

Показательные и логарифмические функции:

$\int e^{x}dx=e^x+C$ $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$

Тригонометрические функции:

$\int \sin xdx=-\cos x+C$ $\int \cos xdx=\sin x+C$ $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$

Линейность:

$\int (af(x)+bg(x))dx=a\int f(x)dx+b\int g(x)dx$

Это означает, что можно раскладывать суммы на отдельные интегралы и выносить константы за знак интеграла.

Пример 2: Вычислить $\int (3x^2-4x+5)dx$.

Применим линейность, затем степенное правило:

$\int 3x^{2}dx-\int 4xdx+\int 5dx=x^3-2x^2+5x+C$

Подстановка (u-подстановка): самый используемый метод

Когда подынтегральная функция содержит некоторую функцию и (почти) её производную, подстановка упрощает интеграл.

Настройка. Если подынтегральное выражение имеет вид $f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$, то, положив $u=g(x)$, получаем $du=g^{\prime }(x)dx$, и интеграл превращается в

$\int f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$

Исходный интеграл, который мог быть сложным, превращается в более простой интеграл по переменной $u$.

Пример 3: Вычислить $\int 2x\cdot e^{x^2}dx$.

Заметим, что $\frac{d}{dx}(x^2)=2x$. Положим $u=x^2$, тогда $du=2xdx$. Интеграл становится:

$\int e^{u}du=e^u+C=e^{x^2}+C$

Пример 4: Вычислить $\int \frac{2x}{1+x^2}dx$.

Положим $u=1+x^2$, тогда $du=2xdx$. Интеграл становится:

$\int \frac{1}{u}du=\ln |u|+C=\ln (1+x^2)+C$

(Модуль можно опустить, поскольку $1+x^2>0$ всегда.)

Пример 5 — подстановка с «подгонкой»: Вычислить $\int x\sqrt{x^2+1}dx$.

Положим $u=x^2+1$, тогда $du=2xdx$, значит $xdx=\frac{1}{2}du$. Интеграл становится:

$\int \sqrt{u}\cdot \frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int u^{1/2}du=\frac{1}{2}\cdot \frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac{1}{3}(x^2+1{)}^{3/2}+C$

Ключевой навык распознавания: смотря на интеграл, уметь замечать: «это функция от чего-то, чья производная тоже присутствует». Отрабатывайте этот навык на множестве примеров.

Интегрирование по частям

Когда подстановка не помогает, часто помогает интегрирование по частям. Оно выводится из правила произведения при дифференцировании.

Формула:

$\int udv=uv-\int vdu$

Чтобы применить её: выделите часть подынтегрального выражения как $u$, оставшуюся часть как $dv$. Продифференцируйте $u$, получив $du$; проинтегрируйте $dv$, получив $v$. Подставьте в формулу.

Выбор $u$ и $dv$ важен. Распространённый мнемонический приём: LIATE — выбирайте $u$ в следующем порядке предпочтения:

• Logarithmic functions (логарифмические функции)
• Inverse trig functions (обратные тригонометрические функции)
• Algebraic functions (алгебраические функции, например многочлены)
• Trigonometric functions (тригонометрические функции)
• Exponential functions (показательные функции)

Пример 6: Вычислить $\int x{e}^{x}dx$.

Алгебраические функции идут перед показательными в LIATE, поэтому положим $u=x$, $dv=e^{x}dx$. Тогда $du=dx$ и $v=e^x$. Применяем формулу:

$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C=e^x(x-1)+C$

Пример 7: Вычислить $\int x\cos xdx$.

Положим $u=x$, $dv=\cos xdx$. Тогда $du=dx$, $v=\sin x$. Получаем:

$\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$

Пример 8 — двойное интегрирование по частям: Вычислить $\int x^2{e}^{x}dx$.

Положим $u=x^2$, $dv=e^{x}dx$. Тогда $du=2xdx$, $v=e^x$. Применяем:

$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-\int 2x{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2\int x{e}^{x}dx$

Мы уже вычислили $\int x{e}^{x}dx=e^x(x-1)+C$ выше. Подставляем:

$\int x^2{e}^{x}dx=x^2{e}^x-2e^x(x-1)+C=e^x(x^2-2x+2)+C$

Тригонометрические интегралы и подстановки

Небольшая «библиотека» приёмов позволяет обрабатывать большинство интегралов с тригонометрическими функциями.

Степени синуса и косинуса. Используйте тождества ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos (2x)}{2}$ и ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos (2x)}{2}$ для чётных степеней или оставляйте один множитель и преобразуйте остальные для нечётных степеней.

Пример 9: Вычислить $\int {\sin }^{3}xdx$.

Перепишем: ${\sin }^{3}x=\sin x\cdot (1-{\cos }^{2}x)$. Сделаем подстановку $u=\cos x$, $du=-\sin xdx$:

$\int \sin x(1-{\cos }^{2}x)dx=-\int (1-u^2)du=-u+\frac{u^3}{3}+C=-\cos x+\frac{{\cos }^{3}x}{3}+C$

Тригонометрическая подстановка. Когда интеграл содержит $\sqrt{a^2-x^2}$, $\sqrt{a^2+x^2}$ или $\sqrt{x^2-a^2}$, подстановка тригонометрической функции вместо $x$ часто упрощает задачу.

Для $\sqrt{a^2-x^2}$: положите $x=a\sin \theta$. Для $\sqrt{a^2+x^2}$: положите $x=a\tan \theta$. Для $\sqrt{x^2-a^2}$: положите $x=a\sec \theta$.

Пример 10: Вычислить $\int \sqrt{4-x^2}dx$.

Положим $x=2\sin \theta$, тогда $dx=2\cos \theta d\theta$ и $\sqrt{4-x^2}=2\cos \theta$. Интеграл становится:

$\int 2\cos \theta \cdot 2\cos \theta d\theta =4\int {\cos }^2\theta d\theta =4\int \frac{1+\cos (2\theta )}{2}d\theta =2\theta +\sin (2\theta )+C$

Возвращаемся к исходной переменной. Так как $x=2\sin \theta$, имеем $\theta =\arcsin (x/2)$ и $\sin (2\theta )=2\sin \theta \cos \theta =2\cdot \frac{x}{2}\cdot \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}=\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}$.

$\int \sqrt{4-x^2}dx=2\arcsin \left(\frac{x}{2}\right)+\frac{x\sqrt{4-x^2}}{2}+C$

Разложение на простейшие дроби

Когда подынтегральная функция — рациональная $\frac{P(x)}{Q(x)}$, где степень $P$ меньше степени $Q$, следует разложить $Q(x)$ на множители и разложить дробь на более простые слагаемые.

Пример 11: Вычислить $\int \frac{1}{x^2-1}dx$.

Разложим: $x^2-1=(x-1)(x+1)$. Представим в виде суммы простейших дробей:

$\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$

Умножим обе части на $(x-1)(x+1)$: $1=A(x+1)+B(x-1)$. Положим $x=1$: $1=2A$, значит $A=1/2$. Положим $x=-1$: $1=-2B$, значит $B=-1/2$.

$\int \frac{1}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{x-1}dx-\frac{1}{2}\int \frac{1}{x+1}dx=\frac{1}{2}\ln |x-1|-\frac{1}{2}\ln |x+1|+C=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$

Для кратных корней и квадратных множителей разложение усложняется, но принцип остаётся тем же.

Несобственные интегралы

Несобственный интеграл — это интеграл, у которого либо бесконечный интервал интегрирования, либо подынтегральная функция неограниченно растёт в какой-то точке интервала.

Тип 1 — бесконечный интервал:

${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^2}dx={\lim }_{b\to \infty }{\int }_1^b\frac{1}{x^2}dx={\lim }_{b\to \infty }{\left[-\frac{1}{x}\right]}_1^b={\lim }_{b\to \infty }\left(1-\frac{1}{b}\right)=1$

Интеграл сходится к 1.

Тип 2 — неограниченная подынтегральная функция:

${\int }_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx={\lim }_{a\to 0^{+}}{\int }_a^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx={\lim }_{a\to 0^{+}}[2\sqrt{x}{]}_a^1={\lim }_{a\to 0^{+}}(2-2\sqrt{a})=2$

Сходится к 2.

Некоторые несобственные интегралы расходятся — не дают конечного значения. Интеграл ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x}dx$ расходится (его первообразная $\ln x$ неограниченно растёт).

Численное интегрирование

Многие интегралы нельзя выразить в замкнутом виде. Например, интеграл ${\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$ (центральный в теории вероятностей — он даёт площадь под графиком нормального распределения до точки $x$) не имеет первообразной в элементарных функциях.

Когда замкнутая форма недоступна, используют численные методы для приближённого вычисления значений:

Правило трапеций:

${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{\Delta x}{2}\left[f(x_0)+2f(x_1)+2f(x_2)+\cdots +2f(x_{n-1})+f(x_n)\right]$

где $\Delta x=(b-a)/n$ и $x_i=a+i\Delta x$.

Формула Симпсона более точна:

${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{\Delta x}{3}\left[f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)+\cdots +4f(x_{n-1})+f(x_n)\right]$

(требует, чтобы $n$ было чётным).

Для вычислений в программах библиотеки вроде quad из SciPy используют адаптивные методы, которые автоматически обеспечивают высокую точность.

Типичные ловушки

Ловушка 1 — Забывание константы интегрирования. Для неопределённых интегралов (без пределов) всегда добавляйте $+C$. Это стандартная ошибка на экзаменах.

Ловушка 2 — Ошибки со знаком при интегрировании по частям. Формула: $\int udv=uv-\int vdu$. Минус перед вторым интегралом очень часто забывают. Перепроверьте знак.

Ловушка 3 — Забывание смены пределов при подстановке в определённых интегралах. Когда вы полагаете $u=g(x)$, исходные пределы $a$ и $b$ переходят в $g(a)$ и $g(b)$. Если забыть сменить пределы, ответ будет неверным.

Пример 12: Вычислить ${\int }_0^{1}2x{e}^{x^2}dx$.

Сделаем подстановку $u=x^2$, $du=2xdx$. При $x=0$ имеем $u=0$; при $x=1$ — $u=1$. Тогда:

${\int }_0^1{e}^{u}du=e^1-e^0=e-1$

(Примерно 1,718.)

Ловушка 4 — Неподходящий выбор метода. Большинство интегралов решаются одним из трёх методов: подстановкой, по частям или разложением на простейшие дроби. Если вы потратили десять минут и не сдвинулись с места, выбран, скорее всего, неправильный метод. Попробуйте другой.

Структурированный подход к выбору метода

Столкнувшись с незнакомым интегралом, пройдитесь по этому чек-листу:

1. Это базовая форма? Сначала сверяйтесь с таблицей базовых интегралов.
2. Применима ли подстановка? Ищите шаблоны вида $f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$. Это самый распространённый метод.
3. Подынтегральное выражение — произведение? Попробуйте интегрирование по частям. Для выбора $u$ используйте LIATE.
4. Есть ли под корнем $\sqrt{a^2\pm x^2}$ или $\sqrt{x^2-a^2}$? Попробуйте тригонометрическую подстановку.
5. Это рациональная функция? Попробуйте разложение на простейшие дроби.
6. Есть ли степени тригонометрических функций? Используйте тригонометрические тождества или приём «сохранить один множитель».
7. Ничего из перечисленного? Возможно, это неэлементарный интеграл. Попробуйте численные методы.

Большинство студентов могут решить 90% учебных интегралов с помощью подстановки, интегрирования по частям и разложения на простейшие дроби. Остальные 10% требуют тригонометрической подстановки или численных методов.