Пределы и непрерывность: основание математического анализа

Предел — это концептуальный шаг, который позволяет математическому анализу говорить о мгновенных скоростях изменения и непрерывном накоплении. До введения предела не существовало способа строго определить понятие наклона в одной точке — можно было говорить только о средних наклонах на интервалах. Предел закрывает этот разрыв, и из него вырастает анализ.

В этой статье рассматривается, что пределы означают интуитивно, формальное эпсилон-дельта-определение, как вычислять пределы на практике, правило Лопиталя для неопределённых форм, непрерывность и её виды, бесконечные пределы и пределы на бесконечности, почему этот материал важен для остального анализа и типичные ловушки.

Зачем пределы существуют как концепция

Рассмотрим вопрос: каков наклон кривой $f(x)=x^2$ в точке $x=1$?

Ранняя математика могла спросить: каков наклон между $x=1$ и $x=2$? Это вычисляется: $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{4-1}{1}=3$. Это наклон секущей между двумя точками — средний наклон на интервале.

Но каков наклон в одной точке $x=1$? Нельзя вычислить $\frac{f(1)-f(1)}{1-1}=\frac{0}{0}$ — это не определено. Проблема в том, что в одной точке нет интервала, на котором можно было бы вычислить наклон.

Предел решает эту трудность. Рассмотрим наклон между $x=1$ и $x=1+h$ для малых $h$:

$\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h{)}^2-1}{h}=\frac{2h+h^2}{h}=2+h$

По мере того как $h$ стремится к нулю, это выражение приближается к 2. Предел равен 2 — и мы говорим, что наклон $f(x)=x^2$ в точке $x=1$ равен 2.

Это центральный ход. Предел позволяет нам говорить о том, к чему выражение приближается, когда переменная приближается к некоторому значению, даже если само выражение в этом значении не определено. Наклон в точке — это предел среднего наклона.

Интуитивное определение

Мы пишем ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$, имея в виду: когда $x$ становится сколь угодно близким к $a$ (но не равным $a$), $f(x)$ становится сколь угодно близким к $L$.

Этого интуитивного определения достаточно для большинства целей. Технический шаг состоит в том, чтобы уточнить смысл выражения «сколь угодно близкий».

Пример 1: ${\lim }_{x\to 2}(x^2+3)=?$

Когда $x$ приближается к 2, $x^2$ приближается к 4, а $x^2+3$ приближается к 7. Значит, предел равен 7.

Это работает потому, что функция $x^2+3$ непрерывна в точке $x=2$ — её значение в $x=2$ совпадает с пределом при $x\to 2$. Для непрерывных функций вычисление пределов сводится к подстановке.

Пример 2: ${\lim }_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=?$

Прямая подстановка даёт $\frac{0}{0}$ — не определено. Но можно разложить на множители: $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ для всех $x\ne 1$. Тогда предел при $x\to 1$ равен $1+1=2$.

Хотя исходное выражение не определено при $x=1$, предел существует и равен 2. Функция как бы "стремится" быть равной 2 при $x=1$.

Формальное эпсилон-дельта-определение

Интуитивное определение использует нестрогие слова («сколь угодно близкий»). Математики XIX века Коши и Вейерштрасс сделали его строгим:

${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ означает: для всякого $\epsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что всякий раз, когда $0<|x-a|<\delta$, выполняется $|f(x)-L|<\epsilon$.

На обычном языке: как бы близко (насколько малым $\epsilon$) вы ни захотели сделать $f(x)$ к $L$, можно найти окрестность вокруг $a$ (некоторое $\delta$) такую, что все $x$ в этой окрестности (кроме самого $a$) дают значения $f(x)$, отличающиеся от $L$ менее чем на $\epsilon$.

Это строгое определение. Почти вся математический анализ (строгий фундамент математического анализа в привычном смысле) опирается на него.

Для практических вычислений это эпсилон-дельта-определение почти никогда не используют напрямую. Вместо этого используют законы пределов, вытекающие из него.

Законы пределов

Если ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ и ${\lim }_{x\to a}g(x)=M$, то:

• Сумма: ${\lim }_{x\to a}(f(x)+g(x))=L+M$
• Произведение: ${\lim }_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=L\cdot M$
• Частное: ${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}$, при условии что $M\ne 0$
• Произведение на константу: ${\lim }_{x\to a}(c\cdot f(x))=c\cdot L$
• Степень: ${\lim }_{x\to a}f(x{)}^n=L^n$ для положительных целых $n$

Для многочленов предел всегда можно найти подстановкой: ${\lim }_{x\to a}p(x)=p(a)$. Законы пределов гарантируют это.

Для рациональных функций $\frac{p(x)}{q(x)}$ можно подставлять напрямую, если $q(a)\ne 0$. Если $q(a)=0$, нужны другие методы.

Вычисление пределов: техники

Когда прямая подстановка не работает (обычно из-за форм типа $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty }{\infty }$), используйте одну из следующих техник.

Техника 1 — Алгебраическое упрощение.

Разложить на множители и сократить, рационализовать или иначе переписать выражение так, чтобы устранить проблемную точку.

Пример 3: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sqrt{x+4}-2}{x}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое $\sqrt{x+4}+2$:

$\frac{(\sqrt{x+4}-2)(\sqrt{x+4}+2)}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{(x+4)-4}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{x}{x(\sqrt{x+4}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+4}+2}$

Теперь подставим $x=0$: $\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}$.

Техника 2 — Правило Лопиталя.

Если предел даёт форму $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty }{\infty }$, можно продифференцировать числитель и знаменатель и снова попытаться взять предел:

${\lim }_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}={\lim }_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$

при условии, что правая часть существует.

Пример 4: ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$.

Это классический пример. Прямая подстановка даёт $\frac{0}{0}$. Применим правило Лопиталя:

${\lim }_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=\cos (0)=1$

Следовательно, ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$.

(Замечание: аккуратное доказательство этого предела на самом деле использует геометрические аргументы, а не правило Лопиталя, потому что правило Лопиталя опирается на знание того, что $\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$, а это, в свою очередь, выводится из этого предела. В строгих изложениях этот круг устраняют. Но для вычислений правило Лопиталя работает.)

Пример 5: ${\lim }_{x\to \infty }\frac{x^2}{e^x}$.

Прямой расчёт даёт $\frac{\infty }{\infty }$. Применим правило Лопиталя: ${\lim }_{x\to \infty }\frac{2x}{e^x}$. Всё ещё форма $\frac{\infty }{\infty }$. Применим ещё раз: ${\lim }_{x\to \infty }\frac{2}{e^x}=0$.

Предел равен 0. Экспоненты растут быстрее многочленов.

Техника 3 — Запоминание специальных пределов.

Есть несколько пределов, которые постоянно встречаются и которые стоит запомнить:

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$ ${\lim }_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$ ${\lim }_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1$ ${\lim }_{x\to 0}\frac{\ln (1+x)}{x}=1$ ${\lim }_{x\to \infty }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e$

Непрерывность

Функция $f$ непрерывна в точке $a$, если выполняются условия:

1. $f(a)$ определена.
2. ${\lim }_{x\to a}f(x)$ существует.
3. ${\lim }_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Важны все три условия. Если какое-либо не выполняется, $f$ не является непрерывной в точке $a$.

Типы разрывов:

• Устранимый разрыв: ${\lim }_{x\to a}f(x)$ существует, но не равен $f(a)$ (или $f(a)$ не определена). Пример: $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ при $x=1$. Предел равен 2, но функция там не определена. Разрыв можно «устранить», определив $f(1)=2$.

• Скачкообразный разрыв: функция «прыгает» — левый и правый предел существуют, но не равны. Пример: $f(x)=\frac{|x|}{x}$ при $x=0$. Левый предел равен $-1$, правый — $+1$.

• Бесконечный разрыв: функция стремится к $\pm \infty$ в данной точке. Пример: $f(x)=\frac{1}{x}$ при $x=0$.

Непрерывные функции ведут себя «хорошо». Стандартные теоремы анализа — теорема о промежуточных значениях, теорема о конечных максимумах и минимумах (Extreme Value Theorem), теорема о среднем значении — все требуют непрерывности. Непрерывность гарантирует, что малые изменения входа вызывают малые изменения выхода.

Большинство функций, с которыми вы сталкиваетесь, — многочлены, экспоненты, синусы, косинусы, $\sqrt{x}$ (там, где определена), логарифмы (там, где определены) — непрерывны на своих областях определения.

Односторонние пределы

Иногда функция ведёт себя по-разному по обе стороны от точки. Для этого вводятся односторонние пределы.

${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=L$ означает, что $f(x)\to L$, когда $x$ приближается к $a$ слева (со значений меньше $a$).

${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=L$ означает, что $f(x)\to L$, когда $x$ приближается к $a$ справа (со значений больше $a$).

Двусторонний предел ${\lim }_{x\to a}f(x)$ существует тогда и только тогда, когда оба односторонних предела существуют и равны.

Пример 6: $f(x)=|x|/x$ при $x=0$.

${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1$ (так как $|x|=-x$ для $x<0$). ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1$.

Двусторонний предел не существует.

Бесконечные пределы и пределы на бесконечности

Бесконечные пределы: ${\lim }_{x\to a}f(x)=\infty$ означает, что $f(x)$ неограниченно возрастает, когда $x\to a$. Пример: ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=\infty$.

Пределы на бесконечности: ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=L$ означает, что $f(x)\to L$ при неограниченном росте $x$. Пример: ${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$.

Комбинируя: ${\lim }_{x\to \infty }f(x)=\infty$ означает, что $f$ неограниченно возрастает при неограниченном росте $x$. Пример: ${\lim }_{x\to \infty }{x}^2=\infty$.

Для рациональных функций ${\lim }_{x\to \infty }\frac{p(x)}{q(x)}$:

• Если степень $p$ < степени $q$: предел равен 0.
• Если степени $p$ и $q$ равны: предел равен отношению старших коэффициентов.
• Если степень $p$ > степени $q$: предел равен $\pm \infty$ (знак зависит от старших коэффициентов).

Почему это важно

Три причины.

Причина 1 — Производная определяется через предел.

Производная функции $f$ в точке $x$ определяется как

$f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Без пределов это выражение вообще не имеет строгого смысла. Любое вычисление производных, любое правило дифференцирования вытекает из пределов.

Причина 2 — Интеграл определяется через предел.

Определённый интеграл ${\int }_a^{b}f(x)dx$ — это предел сумм Римана при бесконечном измельчении разбиения. Без пределов нет интегрирования.

Причина 3 — Непрерывность — основа анализа.

Теорема о промежуточных значениях, теорема о конечных максимумах и минимумах, равномерная сходимость, дифференциальные уравнения — всё это предполагает непрерывность. Непрерывность — предварительное условие для большинства мощных теорем математики.

Типичные ловушки

Ловушка 1 — Путать предел и значение.

${\lim }_{x\to a}f(x)$ говорит о том, к чему стремится $f(x)$ при стремлении $x$ к $a$, а не о $f(a)$. Эти величины могут различаться — и когда они различаются, функция не является непрерывной.

Ловушка 2 — Подставлять численные значения и «считывать» ответ.

Попытка найти ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$, вычисляя $\sin (0.0001)/0.0001$ на калькуляторе, даёт лишь приближение, а не точный ответ. Точный ответ — 1, но вывести это из одного численного значения нельзя. Доказательство требует алгебры или правила Лопиталя.

Ловушка 3 — Применять правило Лопиталя там, где оно неприменимо.

Правило Лопиталя применимо только к формам $\frac{0}{0}$ или $\frac{\infty }{\infty }$. Если предел имеет вид $\frac{1}{0}$ или $\frac{0}{1}$, правило Лопиталя даёт неверные ответы. Перед применением проверьте форму.

Ловушка 4 — Предполагать, что предел всегда существует.

Некоторые пределы не существуют. ${\lim }_{x\to 0}\sin (1/x)$ не существует — функция бесконечно часто осциллирует в окрестности нуля. Не существует значения $L$, к которому стремится $\sin (1/x)$.