Ряды и последовательности: проверка сходимости, объяснение

Последовательность — это упорядоченный список чисел: $a_1,a_2,a_3,\dots$ Ряд — это сумма членов последовательности: $a_1+a_2+a_3+\cdots$. Удивительно, но некоторые бесконечные ряды суммируются в конечные значения. Определение того, какие именно — и вычисление их сумм — и есть тема этой статьи.

В статье рассматривается, что такое последовательности и ряды, формальное определение сходимости, геометрический ряд (важнейший пример), основные признаки сходимости с разобранными примерами, степенные ряды и разложение Тейлора, а также типичные ловушки.

Sequences

Последовательность — это функция из множества положительных целых чисел в множество действительных чисел: $n\mapsto a_n$. Обозначения: $\{a_n\}$ или $(a_n{)}_{n=1}^{\infty }$.

Примеры:

• $a_n=1/n$: $1,1/2,1/3,1/4,\dots$
• $a_n=(-1{)}^n$: $-1,1,-1,1,\dots$
• $a_n=n^2$: $1,4,9,16,\dots$

Сходимость последовательности. Последовательность $\{a_n\}$ сходится к пределу $L$, если ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=L$. В противном случае она расходится.

Первая последовательность выше сходится к 0. Третья расходится к бесконечности. Вторая ни не сходится, ни не расходится к бесконечности — она колеблется.

Series

Ряд — это сумма членов последовательности. Мы определяем частичную сумму:

$S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n={\sum }_{k=1}^n{a}_k$

Ряд ${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$ сходится, если последовательность частичных сумм $\{S_n\}$ сходится. В противном случае он расходится.

Критическое различие. Последовательность и ряд — разные вещи. Последовательность $\{1/n\}$ сходится к 0. Ряд $\sum 1/n$ расходится к бесконечности (это гармонический ряд, классический пример).

The geometric series

Важнейший ряд в математике. Для $|r|<1$:

${\sum }_{n=0}^{\infty }{r}^n=1+r+r^2+r^3+\cdots =\frac{1}{1-r}$

Для $|r|\ge 1$ этот ряд расходится.

Набросок доказательства. Частичная сумма равна $S_n=1+r+\cdots +r^{n-1}$. Умножим на $r$: $r{S}_n=r+r^2+\cdots +r^n$. Вычитаем: $S_n-r{S}_n=1-r^n$, откуда $S_n=\frac{1-r^n}{1-r}$. При $n\to \infty$, если $|r|<1$, $r^n\to 0$, и $S_n\to \frac{1}{1-r}$.

Пример 1: ${\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots =\frac{1}{1-1/2}=2$.

Геометрический ряд возникает при сложных процентах, в расчётах текущей стоимости, в задачах по вероятности (время ожидания, геометрическое распределение) и во многих приложениях в физике.

The harmonic series and the divergence test

Гармонический ряд имеет вид

${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$

Этот ряд расходится к бесконечности, несмотря на то что его члены становятся сколь угодно малыми. Доказательство: сгруппируем члены как $1,1/2,(1/3+1/4),(1/5+\dots +1/8),\dots$ Каждый блок не менее $1/2$, и таких блоков бесконечно много.

Это один из самых противоинтуитивных результатов математического анализа. Стремление членов к нулю является необходимым, но недостаточным условием сходимости.

Признак расходимости (контрапозиция): если ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n\ne 0$, то $\sum a_n$ расходится.

Он полезен только для того, чтобы исключить сходимость. Если $\lim a_n=0$, вы не можете ничего заключить — нужны другие признаки.

The convergence tests

Небольшой набор признаков позволяет разобрать практически любой ряд, который вы встретите.

The ratio test

Если ${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L$:

• $L<1$: ряд сходится.
• $L>1$: ряд расходится.
• $L=1$: признак не даёт ответа.

Пример 2: Исследовать ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{n!}{n^n}$.

Вычислим отношение:

$\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!/(n+1{)}^{n+1}}{n!/n^n}=\frac{(n+1)!}{n!}\cdot \frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}=\frac{n+1}{n+1}\cdot \frac{n^n}{(n+1{)}^n}={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n$

При $n\to \infty$ это выражение стремится к $1/e\approx 0,368$. Так как $1/e<1$, ряд сходится.

The root test

Если ${\lim }_{n\to \infty }\sqrt[n]{|a_n|}=L$:

• $L<1$: ряд сходится.
• $L>1$: ряд расходится.
• $L=1$: признак не даёт ответа.

Полезен, когда $a_n$ содержит $n$-ые степени.

Пример 3: Исследовать ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(\ln n{)}^n}$.

$\sqrt[n]{|a_n|}=\frac{1}{\ln n}\to 0$. Так как $0<1$, ряд сходится.

The comparison test

Если $0\le a_n\le b_n$ для всех $n$:

• Если $\sum b_n$ сходится, то сходится и $\sum a_n$.
• Если $\sum a_n$ расходится, то расходится и $\sum b_n$.

Иными словами: сравнение с известным рядом. Более тонкий вариант — признак предельного сравнения: если ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n/b_n=c>0$ (конечное), то ряды $\sum a_n$ и $\sum b_n$ либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Пример 4: Исследовать ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2+n}$.

Сравним с $\sum 1/n^2$. Отношение $\frac{1/(n^2+n)}{1/n^2}=\frac{n^2}{n^2+n}\to 1$. Значит, оба ряда сходятся (поскольку $\sum 1/n^2$ сходится к ${\pi }^2/6$).

The integral test

Если $f(x)$ положительна, убывает и непрерывна при $x\ge 1$, и $a_n=f(n)$, то

${\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n\text{ сходится}⟺{\int }_1^{\infty }f(x)dx\text{ сходится}$

Пример 5 (p-ряд): Исследовать ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ при различных $p$.

По признаку интегральной сходимости сравним с ${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx$. Этот интеграл сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$. Следовательно, p-ряд сходится при $p>1$ и расходится при $p\le 1$.

Это один из наиболее часто используемых на практике фактов о сходимости.

The alternating series test

Для знакопеременного ряда ${\sum }_{n=1}^{\infty }(-1{)}^n{b}_n$ (где $b_n>0$): если $b_n$ убывает и $\lim b_n=0$, ряд сходится.

Пример 6: ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots =\ln 2$.

Ряд сходится (по признаку знакопеременного ряда), хотя ряд из модулей $\sum 1/n$ расходится. Это называется условной сходимостью.

Absolute vs conditional convergence

Ряд $\sum a_n$ сходится абсолютно, если $\sum |a_n|$ сходится. Он сходится условно, если $\sum a_n$ сходится, но $\sum |a_n|$ расходится.

Абсолютная сходимость — более сильное свойство. Абсолютно сходящиеся ряды можно переставлять, не меняя их суммы. Условно сходящиеся ряды можно перестановкой членов заставить сходиться к любому действительному числу (теорема Римана о перестановке рядов) — поразительный и противоинтуитивный результат.

Power series

Степенной ряд — это ряд вида

${\sum }_{n=0}^{\infty }{c}_n(x-a{)}^n$

где $c_n$ — коэффициенты, а $a$ — центр разложения. Радиус сходимости $R$ — это значение, при котором ряд сходится для $|x-a|<R$ и расходится для $|x-a|>R$.

Радиус можно вычислить по признаку Д’Аламбера: $R={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$.

Taylor series

Любую достаточно "хорошую" функцию $f$ можно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки $a$:

$f(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots$

Это один из самых полезных инструментов в прикладной математике. Он приближает сложные функции полиномами.

Типичные ряды Тейлора (в окрестности $a=0$):

$e^x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

$\sin x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots$

$\cos x={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}-\cdots$

$\frac{1}{1-x}={\sum }_{n=0}^{\infty }{x}^n=1+x+x^2+\cdots (|x|<1)$

$\ln (1+x)={\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^n}{n}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots (|x|\le 1,x\ne -1)$

Калькуляторы вычисляют $\sin$, $\cos$, $e^x$ и другие трансцендентные функции, оценивая ряды Тейлора с достаточной точностью.

Common pitfalls

Ловушка 1 — Путать признак расходимости с достаточным условием сходимости. Если $\lim a_n=0$, вы не можете сделать вывод о сходимости. Гармонический ряд — знаменитый контрпример.

Ловушка 2 — Неправильное применение признака Д’Аламбера. Он не даёт ответа при $L=1$. В этом случае не делайте никаких выводов — используйте другой признак.

Ловушка 3 — Перестановка членов условно сходящихся рядов. Порядок имеет значение. Если вы переставляете члены условно сходящегося ряда, вы можете изменить его сумму. Будьте осторожны при вычислениях.

Ловушка 4 — Забывать про радиус сходимости для рядов Тейлора. Ряд Тейлора для $\ln (1+x)$ работает только при $|x|\le 1$ (и $x\ne -1$). Использование его при $x=2$ даёт бессмыслицу.