Бесконечность

Бесконечность 500 до н.э. – 2030

От парадоксов Зенона до трансфинитной лестницы Кантора — как безграничное было укрощено в математике.

• Бесконечность как парадокс450 до н.э.

  Зенон Элейский, апории. Апории Зенона — Ахиллес и черепаха, дихотомия — доказывают невозможность движения, ведь любой отрезок содержит бесконечно много частей. Задуманные ли в защиту Парменида или лишь чтобы озадачить, они впервые заставляют всерьёз столкнуться с бесконечно делимым.

• Потенциальная, а не актуальная бесконечность350 до н.э.

  Аристотель, «Физика». Аристотель отвечает Зенону, различая потенциальную бесконечность — процесс, который всегда можно продолжить, — и актуальную, завершённое бесконечное целое, которое он отвергает как противоречивое. Этот запрет на завершённую бесконечность правит математикой две тысячи лет.

• Бесконечность как орудие измерения250 до н.э.

  Архимед, «Метод». Архимед вычисляет площади и объёмы, исчерпывая криволинейные фигуры бесконечным числом полосок; этот метод был вновь открыт лишь в 1906 году в палимпсесте. Он обращается с бесконечным как с орудием, но строго доказывает результаты конечным методом исчерпывания — предвосхищая исчисление.

• Целое равно части1638

  Галилей, «Беседы о двух новых науках». Галилей замечает, что квадраты можно поставить во взаимно однозначное соответствие со всеми целыми числами, так что бесконечное множество равномощно своей собственной части. Он заключает, что «равно», «больше» и «меньше» к бесконечностям попросту неприменимы — тот самый парадокс, который позже примет Кантор.

• Символ для безграничного1656

  Джон Валлис, «Арифметика бесконечного». Валлис вводит лемнискату ∞ как знак бесконечного и свободно оперирует бесконечно малыми, чтобы вывести своё знаменитое произведение для π. Бесконечное обретает обозначение, а вместе с ним и рабочее присутствие в алгебре.

• Укрощение бесконечно малого1684

  Ньютон и Лейбниц, исчисление. Независимо друг от друга Ньютон со своими «флюксиями» и Лейбниц со своими дифференциалами создают исчисление, вычисляющее касательные и площади через рассуждения об исчезающе малых величинах. Оно поразительно мощно, но логически шатко — вскоре епископ Беркли высмеет эти бесконечно малые как «призраки отошедших величин».

• Пределы вместо бесконечно малых1821

  Коши, «Курс анализа». Коши перестраивает исчисление на строгом понятии предела, позднее отточенном до определения на языке «эпсилон — дельта». Бесконечное перестаёт быть величиной и становится управляемым процессом приближения — потенциальная бесконечность Аристотеля возвращается с современной точностью.

• Реабилитация актуальной бесконечности1851

  Больцано, «Парадоксы бесконечного». Вышедшее посмертно, сочинение Больцано защищает актуальную бесконечность как законный предмет и изучает бесконечные множества как таковые, отмечая те самые взаимно однозначные соответствия, что смущали Галилея. Он готовит почву, на которой построит Кантор.

• Бесконечности разной величины1874

  Георг Кантор, теория множеств. Кантор доказывает, что действительные числа нельзя поставить в соответствие с целыми: одни бесконечности строго больше других. Его диагональный аргумент и трансфинитные кардиналы превращают актуальную бесконечность в строгую иерархию — переворот, который Кронекер клеймил, но который преобразил математику.

• Континуум-гипотеза1900

  Гильберт, парижские проблемы. Гильберт открывает свой знаменитый список континуум-гипотезой Кантора — существует ли бесконечность строго между целыми и действительными числами? Защищая теорию множеств, он позже провозглашает, что «никто не изгонит нас из рая, который создал для нас Кантор».

• Бесконечность ускользает от аксиом1963

  Пол Коэн, форсинг. Опираясь на Гёделя, Коэн изобретает форсинг и доказывает независимость континуум-гипотезы от стандартных аксиом теории множеств: её нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Величина континуума оказывается делом выбора, а не факта — и Коэн получает Филдсовскую премию.