Математика

Математический анализ: интегрирование

Определённые интегралы, площадь под кривой и прикладной пример потребительского излишка.

Определённый интеграл $\int_{a}^{b} f (x) d x$ даёт знаковую площадь между $f$ и осью $x$ от $a$ до $b$ . По основной теореме анализа, если $F^{'} (x) = f (x)$ , то $\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)$ . Степенное правило интегрирования: $\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C$ (при $n \neq = - 1$ ).

1. Определённый интеграл
лёгкая
Вычислите $\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x$ .
Показать решение
Первообразная: $F (x) = x^{2} + x$ .

$\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x = F (3) - F (0) = (9 + 3) - (0 + 0) = 12$ .
2. Площадь под параболой
средняя
Найдите площадь, ограниченную $f (x) = 4 - x^{2}$ и осью $x$ между двумя корнями кривой.
Показать решение
Корни: $4 - x^{2} = 0 \Rightarrow x = \pm 2$ . На $[- 2, 2]$ кривая выше оси, поэтому площадь равна

$\int_{- 2}^{2} (4 - x^{2}) d x = [4 x - \frac{x ^{3}}{3}]_{- 2}^{2}$ .

При $x = 2$ : $8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$ . При $x = - 2$ : $- 8 + \frac{8}{3} = - \frac{16}{3}$ .

Площадь $= \frac{16}{3} - (- \frac{16}{3}) = \frac{32}{3} \approx 10, 67$ .
3. Потребительский излишек
сложная
Спрос: $p (q) = 100 - 2 q$ . Рынок очищается при объёме $q^{*} = 30$ и цене $p^{*} = 40$ . Потребительский излишек — площадь между кривой спроса и линией цены от $0$ до $q^{*}$ : $C S = \int_{0}^{q^{*}} (p (q) - p^{*}) d q$ . Вычислите его.
Показать решение
$p (q) - p^{*} = (100 - 2 q) - 40 = 60 - 2 q$ .

$CS = \int_0^{30}(60 - 2q)\,dq = \left[60q - q^2\right]_0^{30} = (1800 - 900) - 0 = \$ 900$.

Это равно площади треугольника выше цены и ниже кривой спроса: $\frac{1}{2} \times 30 \times 60 = 900$ — суммарная ценность, полученная покупателями сверх уплаченного.

Математический анализ: интегрирование

1. Определённый интеграл

2. Площадь под параболой

3. Потребительский излишек

Углубиться