Комплексные числа: алгебра и геометрия

Почему недостаточно вещественных чисел

Уравнение x² + 1 = 0 не имеет решений в вещественных числах. Это неудобство — ведь многие задачи физики и математики приводят именно к таким уравнениям. Математики XVI века (Кардано, Бомбелли) начали «притворяться», что √(−1) существует, и обнаружили, что это работает.

Мнимая единица i определяется условием i² = −1. Комплексное число z = a + bi, где a = Re(z) — вещественная часть, b = Im(z) — мнимая часть.

Алгебраические операции

Сложение: (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.

Умножение: (a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i (используем i² = −1).

Деление: (a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c−di)/|c+di|² = [(ac+bd) + (bc−ad)i]/(c²+d²).

Сопряжённое: z̄ = a − bi. Свойства: z·z̄ = a²+b² = |z|² (вещественное число).

Геометрия: комплексная плоскость

Комплексное число z = a+bi изображают точкой (a, b) на плоскости (плоскость Гаусса). Модуль |z| = √(a²+b²) — расстояние от начала координат. Аргумент arg(z) = arctan(b/a) — угол с вещественной осью.

Тригонометрическая форма: z = |z|(cos φ + i sin φ), где φ = arg(z).

Формула Эйлера: e^(iφ) = cos φ + i sin φ.

Это одна из красивейших формул математики. При φ = π: e^(iπ) = −1, или e^(iπ) + 1 = 0 — «формула Эйлера», объединяющая e, i, π, 1 и 0.

Показательная форма: z = |z| · e^(iφ).

Умножение в геометрической форме

z₁z₂ = |z₁||z₂| · e^(i(φ₁+φ₂)): модули перемножаются, аргументы складываются.

Умножение на e^(iφ) — поворот на угол φ. Умножение на r — масштабирование на r.

Формула Муавра: (cos φ + i sin φ)ⁿ = cos(nφ) + i sin(nφ).

Применение: sin(3φ) = 3cos²φ·sinφ − sin³φ выводится из Re[(cosφ + i sinφ)³].

Корни комплексных чисел

n-е корни из z = r·e^(iφ): zₖ = r^(1/n) · e^(i(φ+2πk)/n), k = 0, 1, ..., n−1.

Корни из единицы: ωₖ = e^(2πik/n) — правильный n-угольник на единичной окружности. В теории ДПФ (дискретное преобразование Фурье) корни из единицы — основные объекты.

Основная теорема алгебры

Любой многочлен степени n ≥ 1 с комплексными коэффициентами имеет ровно n корней в ℂ (с учётом кратностей).

Это теорема существования — она не даёт корни явно. Доказательство использует топологические аргументы (основная группа окружности) или функционально-аналитические (теорема Лиувилля в ТФКП).