Матрицы: операции, виды, ранг

Матрица как инструмент

Матрица — прямоугольная таблица чисел. Запись: A = (aᵢⱼ), i = 1,...,m (строки), j = 1,...,n (столбцы). A — матрица размера m×n.

Матрицы возникли как удобный способ записи систем линейных уравнений. Сегодня они — основной объект линейной алгебры и вычислительной математики.

Операции с матрицами

Сложение: (A+B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ. Требуется одинаковый размер.

Умножение на скаляр: (αA)ᵢⱼ = α·aᵢⱼ.

Матричное умножение: C = AB, где cᵢⱼ = Σₖ aᵢₖ·bₖⱼ. Требует: A размера m×k, B размера k×n. Результат C размера m×n.

Умножение не коммутативно: AB ≠ BA в общем случае! Это фундаментальное отличие матриц от чисел.

Транспонирование: (Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ. Свойства: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ.

Специальные виды матриц

Единичная матрица E (или I): eᵢⱼ = 1 при i=j, 0 при i≠j. AE = EA = A.

Диагональная: aᵢⱼ = 0 при i≠j.

Треугольная: нижняя (aᵢⱼ = 0 при i<j) или верхняя (aᵢⱼ = 0 при i>j). Определитель = произведение диагональных элементов.

Симметричная: A = Aᵀ (aᵢⱼ = aⱼᵢ). Матрицы ковариации — симметричные.

Ортогональная: AᵀA = E. Столбцы — ортонормированный базис. det A = ±1. Преобразования — повороты и отражения.

Ранг матрицы

Ранг A — максимальный порядок ненулевого минора, он же размерность пространства строк (и столбцов). rank(A) = rank(Aᵀ).

Элементарные преобразования строк (перестановка, умножение на скаляр, прибавление кратного другой строки) не меняют ранг.

Метод Гаусса (приведение к ступенчатому виду) — стандартный алгоритм нахождения ранга.

Теорема: rank(AB) ≤ min(rank A, rank B).

Обратная матрица

A⁻¹ существует (A — обратима или невырождена) тогда и только тогда, когда det A ≠ 0, то есть rank A = n.

AA⁻¹ = A⁻¹A = E. (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.

Вычисление: [A|E] → [E|A⁻¹] методом Гаусса–Жордана.