Определители: свойства и вычисление

Что такое определитель

Определитель — скаляр, ассоциированный с квадратной матрицей. Интуиция: det A — «объём» параллелепипеда, образованного строками (или столбцами) матрицы. При det A = 0 столбцы линейно зависимы — «параллелепипед» вырожден (плоский).

Для 2×2: det[[a,b],[c,d]] = ad − bc.

Геометрически: |ad−bc| — площадь параллелограмма со сторонами (a,b) и (c,d).

Аксиоматика определителя

Определитель — единственная функция от строк матрицы, обладающая тремя свойствами:

1. Полилинейность по строкам
2. Кососимметричность (перестановка двух строк меняет знак)
3. det E = 1

Разложение по строке/столбцу

det A = Σⱼ aᵢⱼ Aᵢⱼ, где Aᵢⱼ = (−1)^(i+j) Mᵢⱼ — алгебраическое дополнение, Mᵢⱼ — минор (определитель подматрицы без i-й строки и j-го столбца).

Для 3×3 по первой строке: det A = a₁₁(a₂₂a₃₃−a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃−a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂−a₂₂a₃₁).

Свойства определителя

• det Aᵀ = det A
• det(AB) = det A · det B
• det(A⁻¹) = 1/det A
• Если строка — линейная комбинация других строк, det = 0

Элементарные преобразования:

• Перестановка двух строк: det меняет знак
• Прибавление кратного строки: det не меняется
• Умножение строки на λ: det умножается на λ

Формула Крамера

Система Ax = b (квадратная, det A ≠ 0) имеет единственное решение xᵢ = det Aᵢ / det A, где Aᵢ — матрица с i-м столбцом, заменённым на b.

Применение: теоретически важна, но вычислительно неэффективна — метод Гаусса работает быстрее.

Геометрические приложения

Объём параллелепипеда: V = |det[a,b,c]| (строки — векторы рёбер).

Ориентация: sign(det) определяет ориентацию базиса.

Матрица Якоби: при замене переменных в интеграле коэффициент растяжения объёма = |det J|.