Группы: определение, примеры, теоремы

Абстракция как сила

Алгебра XIX века сделала главное открытие: разные математические объекты (числа, перестановки, симметрии многогранников, матрицы) подчиняются одним и тем же абстрактным законам. Изучая эти законы в общем виде, мы получаем результаты сразу для всех конкретных случаев.

Галуа и Коши в первой половине XIX века заложили основы теории групп, изучая симметрии уравнений.

Определение группы

Группа — множество G с бинарной операцией ∗, удовлетворяющей:

1. Замкнутость: a∗b ∈ G для всех a, b ∈ G
2. Ассоциативность: (a∗b)∗c = a∗(b∗c)
3. Нейтральный элемент: существует e такой, что a∗e = e∗a = a
4. Обратный элемент: для каждого a существует a⁻¹ такой, что a∗a⁻¹ = e

Если дополнительно a∗b = b∗a — группа абелева (коммутативная).

Примеры групп

(ℤ, +) — целые числа со сложением: абелева бесконечная группа.

(ℝ∗, ·) = (ℝ{0}, ·) — ненулевые вещественные числа с умножением.

(ℤ/nℤ, +) = {0, 1, ..., n−1} с остатками от деления — конечная абелева группа порядка n.

Группа перестановок Sₙ — все перестановки n элементов, операция — композиция. |Sₙ| = n!. Не абелева при n ≥ 3.

Группа симметрий правильного n-угольника Dₙ (диэдральная группа) порядка 2n: n поворотов и n отражений.

GL(n, ℝ) — группа обратимых вещественных n×n матриц. SL(n, ℝ) — матрицы с det = 1.

Подгруппы и теорема Лагранжа

Подгруппа H ≤ G: подмножество, само являющееся группой. H ≤ G ⟺ ∅ ≠ H ⊆ G и ∀a,b∈H: a∗b⁻¹ ∈ H.

Теорема Лагранжа: Если G — конечная группа и H ≤ G, то |H| делит |G|. Порядок элемента делит порядок группы.

Следствие: группа простого порядка не имеет нетривиальных подгрупп — она циклическая.

Гомоморфизм и изоморфизм

Гомоморфизм φ: G → H сохраняет операцию: φ(a∗b) = φ(a)∘φ(b). Изоморфизм — биективный гомоморфизм. G ≅ H — «одна и та же группа с разными обозначениями».

Ядро ker φ = {g: φ(g) = e_H} — нормальная подгруппа G.