Векторные пространства: основные понятия

Абстракция геометрии

Стрелки в пространстве можно складывать и умножать на числа. Эти операции подчиняются определённым законам. Абстрагируя эти законы, получаем понятие векторного пространства.

Векторное пространство над полем F — множество V с операциями сложения (V×V→V) и умножения на скаляр (F×V→V), удовлетворяющими 8 аксиомам (ассоциативность, коммутативность сложения, нейтральный элемент, обратный, дистрибутивность и др.).

Примеры

ℝⁿ — стандартный пример: n-мерные векторы-столбцы.

ℝ^(m×n) — матрицы размера m×n. Dim = mn.

Пространство многочленов степени ≤ n: Pₙ. Dim = n+1. Базис: {1, x, x², ..., xⁿ}.

C[a,b] — непрерывные функции на [a,b]: бесконечномерное пространство.

Пространство решений линейного ОДУ L[y] = 0 степени n: n-мерное.

Линейная зависимость и независимость

Векторы v₁, ..., vₖ линейно зависимы, если существуют не все нулевые α₁, ..., αₖ такие, что α₁v₁ + ... + αₖvₖ = 0.

Иначе — линейно независимы.

Проверка: система Av = 0, где A = [v₁ ... vₖ]. Зависимы ⟺ ненулевое решение ⟺ rank < k.

Базис и размерность

Базис B = {b₁, ..., bₙ} — линейно независимая система, порождающая V.

Всякие два базиса одного пространства имеют одинаковое число элементов — размерность dim V.

Каждый вектор v разлагается по базису единственным образом: v = α₁b₁ + ... + αₙbₙ. Коэффициенты αᵢ — координаты v в базисе B.

Дополнение до базиса: любое линейно независимое множество можно дополнить до базиса.

Подпространства

Подпространство U ≤ V — непустое подмножество, замкнутое относительно сложения и умножения на скаляр.

Пересечение подпространств — подпространство. Сумма: U + W = {u+w: u∈U, w∈W}.

Формула размерности: dim(U + W) = dim U + dim W − dim(U ∩ W).

Прямая сумма U⊕W: U ∩ W = {0}, dim(U⊕W) = dim U + dim W.