Инвариантные подпространства и жорданова форма

Проблема диагонализации

Не всякий оператор диагонализируем. Матрица [[1,1],[0,1]] имеет единственное собственное значение 1 кратности 2, но лишь одну собственную прямую — пространство собственных векторов одномерно. Диагонализация невозможна.

Что можно сделать в этом случае? Привести к почти диагональному — жордановой нормальной форме.

Жорданова клетка и жорданова форма

Жорданова клетка J(λ, k) — матрица k×k вида: λ на диагонали, 1 над диагональю, 0 везде остальное.

J(λ, 1) = (λ) — скаляр. J(λ, 2) = [[λ,1],[0,λ]]. J(λ, 3) = [[λ,1,0],[0,λ,1],[0,0,λ]].

Теорема о жордановой нормальной форме: Для любого линейного оператора A над алгебраически замкнутым полем (например, ℂ) существует базис, в котором A имеет блочно-диагональный вид: J(λ₁,k₁) ⊕ J(λ₂,k₂) ⊕ ... Эта форма единственна с точностью до порядка клеток.

Нильпотентные операторы

Оператор N нильпотентен, если Nᵏ = 0 для некоторого k. Нильпотентный оператор имеет жорданову форму с λ = 0.

Примеры: матрица [[0,1,0],[0,0,1],[0,0,0]] — нильпотентна, N³ = 0.

Общий оператор A = D + N (разложение Данфорда): D диагонализируема (семипростая часть), N нильпотентна, DN = ND.

Минимальный многочлен

Минимальный многочлен μₐ(t) — наименьший степени многочлен такой, что μₐ(A) = 0.

μₐ(t) делит характеристический многочлен pₐ(t). Кратность корня λ в μₐ ≤ его кратности в pₐ.

A диагонализируема ⟺ μₐ не имеет кратных корней.

Вычисление функций от матриц

Жорданова форма позволяет вычислять f(A) для аналитических f. Например, eᴬ = P·eᴶ·P⁻¹, где eᴶ — блочно-диагональна с блоками e^(J(λ,k)).

eᴶ⁽λ'ᵏ⁾ = eλ · [[1,1,1/2!,...,1/(k-1)!],[0,1,1,...],[...],[0,...,0,1]].

Применение: решение систем ОДУ x' = Ax с матричной экспонентой x(t) = eᴬᵗ x(0).