Нормальные подгруппы и факторгруппы

Нормальные подгруппы и факторгруппы

Нормальные подгруппы

Подгруппа N называется нормальной (N ⊲ G), если gN = Ng для всех g ∈ G, то есть gNg⁻¹ = N.

Эквивалентно: N инвариантна относительно всех внутренних автоморфизмов.

Примеры: {e} и G — всегда нормальные. В абелевой группе — любая подгруппа. Центр Z(G) = {g: gx = xg ∀x} — нормальная.

Ядро гомоморфизма ker φ — всегда нормальная подгруппа.

Факторгруппа

Если N ⊲ G, смежные классы gN образуют группу G/N с операцией (gN)(hN) = (gh)N.

|G/N| = |G|/|N| (индекс подгруппы).

Теорема о гомоморфизме: Если φ: G → H — гомоморфизм, то G/ker φ ≅ Im φ.

Простые группы

Группа простая, если единственные нормальные подгруппы — {e} и G. Простые группы — «атомы» теории групп.

Конечные абелевы простые: ℤ/pℤ (p — простое).

Знакочередующая группа Aₙ (чётные перестановки) — простая при n ≥ 5. Это ключевой факт в доказательстве нерешаемости общего уравнения степени ≥ 5 в радикалах (теорема Абеля–Руффини).

Классификация конечных простых групп

Это грандиозная теорема XX века: всякая конечная простая группа — либо ℤ/pℤ, либо знакочередующая Aₙ (n ≥ 5), либо группа Лиева типа (серии классических групп над конечными полями), либо одна из 26 споradic (исключительных) групп. Доказательство заняло тысячи страниц работ сотен математиков (1955–2004).