Теоремы Силова

Теоремы Силова

Силовские подгруппы

Если |G| = pᵐ·k, где p — простое и p∤k, то подгруппа порядка pᵐ называется силовской p-подгруппой.

Три теоремы Силова (1872):

1. Существование: В конечной группе G существует силовская p-подгруппа для каждого простого p.

2. Сопряжённость: Все силовские p-подгруппы сопряжены: если P и P' — силовские p-подгруппы, то P' = gPg⁻¹ для некоторого g.

3. Число: Число nₚ силовских p-подгрупп удовлетворяет: nₚ ≡ 1 (mod p) и nₚ | |G|/pᵐ.

Применения теорем Силова

Группы порядка 15 = 3·5: n₃ | 5 и n₃ ≡ 1 (mod 3) → n₃ = 1. n₅ | 3 и n₅ ≡ 1 (mod 5) → n₅ = 1. Обе силовские подгруппы нормальны → G ≅ ℤ₁₅ (единственная группа порядка 15).

Группы порядка pq (p < q, p∤q−1): аналогично G ≅ ℤ_{pq}.

Нильпотентные и разрешимые группы

Группа нильпотентна, если убывающий центральный ряд G ⊇ G' ⊇ G'' ⊇ ... достигает {e}. Конечная группа нильпотентна ⟺ прямое произведение своих силовских подгрупп.

Группа разрешима, если существует ряд G = G₀ ⊇ G₁ ⊇ ... ⊇ Gₖ = {e} с абелевыми факторами Gᵢ/Gᵢ₊₁.

Теорема Галуа: Уравнение pn(x) = 0 разрешимо в радикалах ⟺ его группа Галуа разрешима. Группа Галуа общего уравнения степени ≥ 5 — Sₙ, которая неразрешима при n ≥ 5.