Модуль VII·Статья III·~1 мин чтения
Теория Галуа: связь полей и групп
Теория групп: теоремы Силова
Превратить статью в подкаст
Выберите голоса, формат и длину — AI запишет аудио
Теория Галуа
Основная идея
Эварист Галуа в 1830 году установил глубокую связь между расширениями полей и группами. Каждому расширению K/F ставится в соответствие группа Галуа Gal(K/F) — группа автоморфизмов поля K, фиксирующих F.
Расширения полей
F ⊆ K — расширение полей. Степень [K:F] = dim_F K.
ℚ ⊆ ℝ ⊆ ℂ — цепочка расширений. [ℂ:ℝ] = 2, [ℝ:ℚ] = ∞.
ℚ(√2) = {a+b√2: a,b∈ℚ} — расширение степени 2. Минимальный многочлен √2 над ℚ: x²−2.
Группа Галуа
Gal(K/F) = {σ: K→K | σ автоморфизм, σ|_F = id}.
Для K = ℚ(√2): Gal(K/ℚ) = {id, σ}, где σ(a+b√2) = a−b√2. Группа порядка 2 ≅ ℤ₂.
Для K = ℚ(ζ) (ζ = e^{2πi/p}, p — простое): Gal(K/ℚ) ≅ (ℤ/pℤ)* — циклическая группа порядка p−1.
Основная теорема теории Галуа
Для нормального расширения K/F (разложение нормально, как ℂ/ℝ):
Существует взаимно однозначное соответствие между промежуточными полями F ⊆ E ⊆ K и подгруппами H ≤ Gal(K/F): E ↔ Gal(K/E).
Обращение: большим полям соответствуют меньшие подгруппы и наоборот.
Разрешимость в радикалах
Поле K получается из F итерацией расширений вида F(√ⁿa) (добавление n-го корня). Это соответствует нормальным подгруппам с факторами ℤ/mℤ — разрешимым рядам.
Уравнение разрешимо в радикалах ⟺ группа Галуа разрешима.
S₅ неразрешима → общее уравнение 5-й степени неразрешимо. Это ответ на вопрос, занимавший математиков 250 лет.
§ Акт · что дальше