Модули над кольцами

Обобщение векторных пространств

Векторное пространство — это модуль над полем. Если заменить поле кольцом, получим модуль — более общую структуру, где «скалярное умножение» может не иметь обратных.

Левый R-модуль M: абелева группа (M, +) с операцией r·m (r ∈ R, m ∈ M), удовлетворяющей аксиомам дистрибутивности и ассоциативности.

Примеры: ℤ-модули — просто абелевы группы; K-модули = K-векторные пространства; идеалы кольца R — R-модули.

Свободные и проективные модули

Свободный модуль: имеет базис (как векторное пространство). R^n = R × ... × R.

Не всякий модуль свободен: ℤ/2ℤ — ℤ-модуль, не имеющий базиса в обычном смысле.

Проективный модуль: прямое слагаемое свободного. Аналог «прямого дополнения» — алгебраически-геометрическое понятие (расслоения Стифеля–Уитни — проективные модули).

Теорема о структуре конечно порождённых модулей над ОГИ

Если R — ОГИ (область главных идеалов: ℤ, K[x]), M — конечно порождённый R-модуль, то:

M ≅ R^r ⊕ R/(d₁) ⊕ R/(d₂) ⊕ ... ⊕ R/(dₖ), где d₁ | d₂ | ... | dₖ.

Приложения: классификация конечных абелевых групп (R=ℤ); жорданова форма (R=K[x], M — пространство оператора). Оба классификации — частные случаи одной теоремы!

Точные последовательности

Последовательность 0 → M' → M → M'' → 0 точна, если Im каждого отображения = ker следующего.

Короткая точная последовательность: M' — подмодуль M, M'' = M/M'. Расщепляется, если M ≅ M' ⊕ M''.

Длинные точные последовательности появляются в гомологической алгебре и топологии (последовательность Майера–Вьеториса, точная последовательность пары).