Интеграл Римана: определение и существование

Задача об площади

Как найти площадь под кривой y = f(x) от a до b? Если f = const, ответ тривиален. Если f — многочлен, можно разбить на трапеции. Но что для произвольной функции?

Идея Римана (1854): разбить отрезок [a, b] на малые части, на каждой части приближённо заменить функцию константой, суммировать прямоугольники.

Суммы Римана

Разбиение T: a = x₀ < x₁ < ... < xₙ = b. Для каждого подотрезка [xᵢ₋₁, xᵢ] длиной Δxᵢ выбираем точку ξᵢ ∈ [xᵢ₋₁, xᵢ].

Сумма Римана: S(f, T, ξ) = Σᵢ f(ξᵢ)Δxᵢ.

Диаметр разбиения: λ = max Δxᵢ.

Функция f интегрируема по Риману на [a, b], если существует предел сумм Римана при λ→0, не зависящий от выбора разбиения и точек ξᵢ. Этот предел — определённый интеграл ∫ₐᵇ f(x)dx.

Критерий Римана

Введём верхние и нижние суммы Дарбу: U(f, T) = Σ Mᵢ Δxᵢ и L(f, T) = Σ mᵢ Δxᵢ, где Mᵢ = sup f и mᵢ = inf f на [xᵢ₋₁, xᵢ].

f интегрируема ⟺ для любого ε > 0 существует разбиение T такое, что U(f,T) - L(f,T) < ε.

Теорема: Непрерывная на [a, b] функция интегрируема. Монотонная функция интегрируема. Ограниченная функция с конечным числом точек разрыва интегрируема.

Свойства интеграла

∫ₐᵃ f dx = 0, ∫ₐᵇ f dx = -∫ᵦᵃ f dx.

Линейность: ∫(αf + βg) = α∫f + β∫g.

Аддитивность: ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫ᶜᵇ f.

Оценка: если m ≤ f(x) ≤ M на [a, b], то m(b-a) ≤ ∫ₐᵇ f dx ≤ M(b-a).

Теорема о среднем: ∫ₐᵇ f dx = f(c)(b-a) для некоторого c ∈ [a, b].

Несобственные интегралы

Интеграл ∫₁^∞ dx/xᵖ сходится при p > 1 и расходится при p ≤ 1. Это стандартный тест для сравнения: если функция убывает «достаточно быстро», интеграл сходится.

Интеграл Гаусса: ∫₋∞^∞ e^(-x²) dx = √π. Это замечательный результат, используемый в теории вероятностей.

Связь интеграла с вероятностью

Интеграл Римана — язык теории вероятностей. Если непрерывная случайная величина X имеет плотность f(x) ≥ 0, то P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx. Условие нормировки ∫₋∞^∞ f(x) dx = 1 — именно несобственный интеграл. Нормальное распределение N(μ, σ²) с плотностью f(x) = (1/σ√(2π)) e^(-(x-μ)²/(2σ²)) нормировано благодаря интегралу Гаусса.

Математическое ожидание E[X] = ∫ x f(x) dx, дисперсия Var[X] = ∫ (x−μ)² f(x) dx — всё это интегралы. Теория вероятностей буквально является прикладной теорией интеграла.

Критерий Лебега интегрируемости по Риману

Функция ограничена на [a, b] и интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру нуль. Это означает, что функция может иметь бесконечно много точек разрыва — лишь бы они не «занимали» никакого интервала. Функция Дирихле (1 на рациональных, 0 на иррациональных) нигде не непрерывна и не интегрируема по Риману, но интегрируема в более общем смысле (по Лебегу).

Интеграл как предел интегральных сумм

Практическое значение: численное интегрирование. Метод прямоугольников: ∫ₐᵇ f(x) dx ≈ h·Σ f(xᵢ). Метод трапеций: ∫ₐᵇ f dx ≈ h·(f(a)/2 + f(x₁) + ... + f(xₙ₋₁) + f(b)/2). Метод Симпсона: паrabolic rule, ошибка O(h⁴). В современных пакетах (SciPy, MATLAB) используются адаптивные схемы, автоматически измельчающие разбиение там, где функция быстро меняется.

Критерий Лебега интегрируемости по Риману

Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру Лебега нуль (теорема Лебега, 1901). Это точная граница: функция Дирихле (1 на рациональных, 0 на иррациональных) не интегрируема по Риману, так как разрывна всюду. Функция Томае (0 на иррациональных, 1/q на p/q) интегрируема: её точки разрыва — рациональные числа, которых счётное множество, а счётные множества имеют меру нуль. Этот критерий объясняет, почему «большинство» ограниченных функций интегрируемы — их разрывы образуют «маленькие» множества.

Вопрос для размышления: Функция f(x) = sin(1/x) при x ∈ (0, 1] неограниченно колеблется вблизи нуля. Интегрируема ли она по Риману на [0, 1] (если доопределить f(0) = 0)?

Суммы Дарбу и точная характеристика интегрируемости

Нижняя сумма Дарбу: L(P, f) = Σ mᵢ Δxᵢ, где mᵢ = inf f на подотрезке. Верхняя сумма: U(P, f) = Σ Mᵢ Δxᵢ, где Mᵢ = sup f. Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда inf_P U(P, f) = sup_P L(P, f) (определение Дарбу) — это эквивалентно исходному определению через интегральные суммы. Геометрический смысл: интеграл существует, когда верхние и нижние ступенчатые аппроксимации «смыкаются». Для монотонных функций это всегда выполнено: U − L ≤ (f(b) − f(a)) · max Δxᵢ → 0 при измельчении разбиения. Для функции Дирихле (1 на ℚ, 0 на ℝℚ): L = 0, U = 1 для любого разбиения — интеграл не существует.