Криволинейные интегралы

Мотивация: работа, масса провода, поток

Три задачи приводят к криволинейным интегралам. Первая: найти массу тонкого провода с переменной линейной плотностью ρ(x,y) — нельзя просто умножить длину на плотность, если плотность меняется. Вторая: найти работу, совершённую силовым полем F(x,y) = (P, Q) при перемещении частицы вдоль кривой — сила меняется вдоль пути и не всегда направлена вдоль движения. Третья: вычислить поток поля через кривую (двумерный аналог потока через поверхность). Все три задачи ведут к двум видам криволинейных интегралов.

Кривая и её параметризация

Гладкая кривая C задаётся параметрически: r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], где x(t), y(t) непрерывно дифференцируемы и |r'(t)| = √(x'² + y'²) ≠ 0 (нет «остановок»). Элемент длины дуги: ds = |r'(t)| dt = √(x'²(t) + y'²(t)) dt.

Пример: полуокружность C: x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, π]. Длина: ∫₀^π |r'(t)| dt = ∫₀^π 1 dt = π. ✓

Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)

∫_C f(x,y) ds = ∫ₐᵇ f(x(t), y(t)) |r'(t)| dt.

Это интеграл скалярной функции f по длине кривой. Не зависит от ориентации кривой (знак ds всегда положителен).

Применение — масса провода: M = ∫_C ρ(x,y) ds, где ρ — линейная плотность (кг/м).

Пример: Найти массу полуокружности x² + y² = R², y ≥ 0, с плотностью ρ = y/R.

Параметризация: x = R cos t, y = R sin t, t ∈ [0, π], ds = R dt.

M = ∫₀^π (R sin t / R) · R dt = R ∫₀^π sin t dt = R · 2 = 2R.

Проверка: наибольшая плотность у верхней точки (t = π/2), наименьшая у концов (t = 0, π), поэтому результат 2R < πR (максимальная масса) — осмысленно.

Криволинейный интеграл второго рода (по координатам)

∫_C P dx + Q dy = ∫ₐᵇ [P(x(t), y(t)) x'(t) + Q(x(t), y(t)) y'(t)] dt.

Это интеграл от «дифференциальной формы» ω = P dx + Q dy. Зависит от ориентации: при обходе кривой в обратную сторону интеграл меняет знак.

Физический смысл — работа поля: A = ∫_C F·dr = ∫_C P dx + Q dy, где F = (P, Q) — сила, dr = (dx, dy) — элемент пути. В каждой точке берём проекцию силы на касательную и интегрируем по длине.

Развёрнутый пример. Вычислить работу поля F = (−y, x) вдоль единичной окружности (против часовой стрелки).

Параметризация: x = cos t, y = sin t, t ∈ [0, 2π].

A = ∫₀^{2π} [(−sin t)(−sin t) + (cos t)(cos t)] dt = ∫₀^{2π} (sin²t + cos²t) dt = ∫₀^{2π} dt = 2π.

Поле F = (−y, x) — поле вращения (вихревое). Оно всегда направлено перпендикулярно радиус-вектору, то есть вдоль окружности. Поэтому работа пропорциональна длине контура (2πR = 2π для R = 1).

Теорема Грина

Это главная теорема о криволинейных интегралах в плоскости. Она связывает «глобальное» (интеграл по контуру) с «локальным» (двойной интеграл по области) и является частным случаем обобщённой теоремы Стокса.

Теорема Грина: Если D — область с кусочно-гладкой границей ∂D (обходим против часовой стрелки), P, Q — непрерывно дифференцируемы в замыкании D, то:

∮_{∂D} P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA.

Величина ∂Q/∂x − ∂P/∂y — ротор (завихренность) поля F = (P, Q) в двумерном случае.

Пример — вычисление площади. При P = 0, Q = x: ∮{∂D} x dy = ∬D 1 dA = S(D). Аналогично P = −y, Q = 0: −∮{∂D} y dx = S(D). Среднее: S = (1/2) ∮{∂D} (x dy − y dx). Это даёт способ вычислять площадь через обход границы.

Пример: площадь эллипса x = a cos t, y = b sin t.

S = (1/2) ∫₀^{2π} (a cos t · b cos t − b sin t · (−a sin t)) dt = (1/2) ∫₀^{2π} ab dt = πab. ✓

Потенциальные поля и независимость от пути

Поле F = (P, Q) называется потенциальным (или консервативным), если существует функция φ: ℝ² → ℝ (потенциал, скалярный потенциал) такая, что F = ∇φ.

Критерии потенциальности (в просто связной области):

1. F = ∇φ для некоторой φ.
2. ∂P/∂y = ∂Q/∂x (поле безвихревое, ротор = 0).
3. ∮_L F·dr = 0 для любого замкнутого контура L.
4. ∫_C F·dr не зависит от пути (только от начала и конца).

Все четыре условия эквивалентны в просто связной области.

Для потенциального поля: ∫_C F·dr = φ(r(b)) − φ(r(a)) — аналог теоремы Ньютона–Лейбница.

Нахождение потенциала. Если ∂P/∂y = ∂Q/∂x, ищем φ из P = ∂φ/∂x, Q = ∂φ/∂y.

Пример: P = 2xy³, Q = 3x²y². Проверка: ∂P/∂y = 6xy² = ∂Q/∂x. ✓ Потенциал: φ = ∫P dx = x²y³ + C(y). Из Q = ∂φ/∂y = 3x²y²+ C'(y) = 3x²y² → C' = 0 → φ = x²y³.

В физике: гравитационное и электростатическое поля потенциальны. Потенциал φ = −U, где U — потенциальная энергия. Работа в поле тяжести не зависит от пути — только от разницы высот.

Вопрос для размышления: поле F = (−y/(x²+y²), x/(x²+y²)) при (x,y) ≠ (0,0) имеет ∂P/∂y = ∂Q/∂x, но не является потенциальным на ℝ² {0}. Вычислите ∮_C F·dr по единичной окружности и объясните это явление.