Мера Лебега и интеграл Лебега

Зачем понадобился новый интеграл

К концу XIX века математики столкнулись с ограничениями интеграла Римана. Первая проблема — функции с «плохими» разрывами. Функция Дирихле D(x) = 1 для рациональных x и D(x) = 0 для иррациональных не интегрируема по Риману: при любом разбиении [0,1] нижняя сумма Дарбу равна 0 (в каждом отрезке есть иррациональные точки), а верхняя — 1 (в каждом отрезке есть рациональные точки). Однако рациональные числа «редки» — их континуум невозможно почувствовать измерением, поэтому «правильный» интеграл D должен равняться 0.

Вторая проблема — предельный переход. Если fₙ → f и каждая fₙ интегрируема, то интегрируема ли f? Верно ли lim ∫fₙ = ∫f? Для Римана ответ «не обязательно» — нужна равномерная сходимость. Но в теории вероятностей, функциональном анализе и теории дифференциальных уравнений нам нужны куда более общие условия.

Анри Лебег (1875–1941) в своей докторской диссертации 1902 года создал теорию, решающую обе проблемы. Его подход: измерять «размер» множеств, а не разбивать область на отрезки.

Мера Лебега: обобщение длины

Начнём с простого: длина отрезка [a,b] = b − a. Длина конечного объединения непересекающихся отрезков = сумма длин (аддитивность). Можно ли распространить это «измерение» на произвольные множества?

Внешняя мера Лебега: m*(E) = inf{ Σₖ |Iₖ| : E ⊆ ∪ₖ Iₖ }, где Iₖ — отрезки. Берём минимально возможное суммарное покрытие E счётным числом отрезков.

Множество E измеримо по Лебегу (по условию Каратеодори), если для любого множества A: m*(A) = m*(A ∩ E) + m*(A ∩ Eᶜ). Интуиция: E «не разбрызгивается» нерегулярно, а чётко делит любое тестовое множество. Тогда m(E) = m*(E).

Σ-алгебра измеримых множеств содержит все борелевские множества (открытые, замкнутые, их счётные объединения/пересечения). Счётная аддитивность: если Eₖ попарно не пересекаются, то m(⋃ Eₖ) = Σ m(Eₖ).

Ключевые примеры:

• m({x₀}) = 0 для любой точки x₀.
• m(ℚ ∩ [0,1]) = 0: рациональные числа — счётное множество, покрываемое интервалами суммарной длины ε при любом ε > 0.
• Канторово множество C ⊂ [0,1]: строим, убирая из [0,1] средние трети. C — несчётное замкнутое совершенное множество без внутренних точек. m(C) = 0! Несчётное, но «нулевое по мере».
• m([0,1]) = 1, m((a,b)) = b − a независимо от открытости/замкнутости концов.

Интеграл Лебега: горизонтальные слои

Риман строит интеграл «вертикально»: разбивает ось x и суммирует f(xₖ)·Δxₖ. Лебег строит «горизонтально»: разбивает ось значений y и для каждого слоя [yₖ, yₖ₊₁] измеряет «ширину» множества {x: f(x) ∈ [yₖ, yₖ₊₁]}.

Шаг 1: Простые функции. Функция φ = Σᵢ cᵢ 1_{Eᵢ} (принимает конечный набор значений cᵢ на измеримых множествах Eᵢ). Интеграл: ∫φ dμ = Σᵢ cᵢ m(Eᵢ).

Для D(x): D = 1·1_{ℚ∩[0,1]} + 0·1_{(ℝℚ)∩[0,1]}. ∫D = 1·0 + 0·1 = 0. ✓

Шаг 2: Неотрицательные измеримые функции. ∫f dμ = sup { ∫φ dμ : 0 ≤ φ ≤ f, φ — простая }.

Шаг 3: Знакочередующиеся функции. Пишем f = f⁺ − f⁻, где f⁺ = max(f,0) ≥ 0, f⁻ = max(−f,0) ≥ 0. Если оба интеграла конечны: ∫f = ∫f⁺ − ∫f⁻.

Функция f интегрируема по Лебегу на E (f ∈ L¹(E)) тогда и только тогда, когда ∫_E |f| dμ < ∞.

Теоремы о предельном переходе

Это главное практическое преимущество Лебега перед Риманом.

Теорема Леви о монотонной сходимости (B. Levi, 1906): Если 0 ≤ f₁ ≤ f₂ ≤ ... и fₙ → f почти всюду, то lim ∫fₙ = ∫f (даже если ∫f = +∞).

Лемма Фату: Если fₙ ≥ 0, то ∫(liminf fₙ) ≤ liminf ∫fₙ.

Теорема Лебега о мажорированной сходимости (1904): Если fₙ → f почти всюду и |fₙ(x)| ≤ g(x), где g интегрируема (∫g < ∞), то:

∫ |fₙ − f| → 0 и ∫fₙ → ∫f.

Это мощнейший инструмент: достаточно найти одну суммируемую «мажоранту» g, и предел с интегралом можно менять местами.

Пример: fₙ(x) = n x e^{−nx} на [0, ∞). fₙ → 0 для каждого x > 0. Найти lim ∫₀^∞ fₙ(x) dx.

Подстановка: ∫₀^∞ n x e^{−nx} dx = (1/n) [по формуле ∫₀^∞ u e^{−u} du = 1] · n · (1/n) = 1. Предел = 1 ≠ 0 = ∫ lim fₙ!

Здесь мажорированная сходимость не применима: не существует интегрируемой мажоранты. Последовательность «убегает на бесконечность» — «масса» смещается и в пределе пропадает.

Критерий интегрируемости по Риману

Теорема Лебега (1901): Ограниченная функция f: [a,b] → ℝ интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда множество её точек разрыва имеет меру нуль.

Это объясняет, почему монотонные функции (точки разрыва — счётное множество, мера = 0) интегрируемы по Риману, а функция Дирихле — нет.

Если f интегрируема по Риману, то она интегрируема по Лебегу и оба интеграла совпадают. Интеграл Лебега — строгое расширение интеграла Римана.

Применения: вероятность и функциональный анализ

Интеграл Лебега — фундамент современной теории вероятностей (Колмогоров, 1933). Вероятностное пространство (Ω, F, P): Ω — пространство элементарных исходов, F — σ-алгебра событий, P — вероятностная мера. Математическое ожидание случайной величины X: E[X] = ∫_Ω X(ω) dP(ω) — интеграл Лебега.

Центральная предельная теорема, закон больших чисел, теорема Радона–Никодима (условное ожидание) — всё это требует языка теории меры и интеграла Лебега.

Вопрос для размышления: покажите, что функция Томаэ t(x) = 1/q если x = p/q (несократимая дробь) и t(x) = 0 для иррациональных x, интегрируема по Риману. Чему равен её интеграл? Как объяснить это через теорему Лебега о критерии Римана?